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【变式1】(1) 命题“$ \exists x ＞ 0, x^{2} - 5x + 6 = 0 $”的否定为____;
答案
(1)$\forall x＞0,x^{2} - 5x + 6 ≠ 0$ (2)有些可以被 5 整除的数，末位不是 0(或存在一个能被 5 整除的数，末位不是 0) (1)先把“$\exists$”换为“$\forall$”，然后否定结论，即原命题的否定为“$\forall x＞0,x^{2} - 5x + 6 ≠ 0$”。
(2) 命题“可以被 $ 5 $ 整除的数, 末位是 $ 0 $”的否定为____.
答案
(2)原命题补上量词为“任何一个可以被 5 整除的数，末位都是 0”，故其否定为“有些可以被 5 整除的数，末位不是 0”(也可以写成“存在一个能被 5 整除的数，末位不是 0”)。
【典例2】(多选) 已知命题 $ p $: $ \exists x \in \mathbf{R}, x^{2} + 4x + a = 0 $, 若命题 $ p $ 是假命题, 则实数 $ a $ 的取值范围可能是()
A. $ \{ a \mid 0 ＜ a \leqslant 4 \} $
B. $ \{ a \mid a ＞ 10 \} $
C. $ \{ a \mid a ＞ 5 \} $
D. $ \{ a \mid a ＞ 4 \} $
A. $ \{ a \mid 0 ＜ a \leqslant 4 \} $
B. $ \{ a \mid a ＞ 10 \} $
C. $ \{ a \mid a ＞ 5 \} $
D. $ \{ a \mid a ＞ 4 \} $
答案
解题指导 第1步: 由命题 $ p $ 是假命题, 得其否定命题 $ \neg p $ 为真命题, 故先写出 $ \neg p $.
第2步: 根据 $ \neg p $ 为真命题, 列出含 $ a $ 的不等式进行求解.
第3步: 选项中实数 $ a $ 的取值范围应为上述不等式解集的子集.
解析 因为命题 $ p $ 是假命题, 所以命题 $ p $ 的否定 $ \neg p $: $ \forall x \in \mathbf{R}, x^{2} + 4x + a \neq 0 $ 为真命题, 即一元二次方程 $ x^{2} + 4x + a = 0 $ 无实数根, 所以 $ \Delta = 4^{2} - 4a ＜ 0 $, 解得 $ a ＞ 4 $. 易得 $ \{ a \mid a ＞ 4 \} $ 的子集皆符合题意.
答案 BCD
第2步: 根据 $ \neg p $ 为真命题, 列出含 $ a $ 的不等式进行求解.
第3步: 选项中实数 $ a $ 的取值范围应为上述不等式解集的子集.
解析 因为命题 $ p $ 是假命题, 所以命题 $ p $ 的否定 $ \neg p $: $ \forall x \in \mathbf{R}, x^{2} + 4x + a \neq 0 $ 为真命题, 即一元二次方程 $ x^{2} + 4x + a = 0 $ 无实数根, 所以 $ \Delta = 4^{2} - 4a ＜ 0 $, 解得 $ a ＞ 4 $. 易得 $ \{ a \mid a ＞ 4 \} $ 的子集皆符合题意.
答案 BCD
【变式2】若“$ \exists x_{0} \in \mathbf{R}, x_{0}^{2} + 2x_{0} + 2 = m $”的否定是假命题, 则实数 $ m $ 的取值范围是____.
答案
$\{ m|m≥1\}$ 因为“$\exists x_{0}∈R,x_{0}^{2} + 2x_{0} + 2 = m$”的否定是假命题，所以“$\exists x_{0}∈R,x_{0}^{2} + 2x_{0} + 2 = m$”是真命题，因此关于$x$的方程$x^{2} + 2x + 2 - m = 0$有实数根，所以$\Delta = 2^{2} - 4(2 - m)≥0$，解得$m≥1$，所以实数$m$的取值范围是$\{ m|m≥1\}$。
1. 命题“$ \exists x \in \mathbf{R}, x^{2} + x - 1 = 0 $”的否定是()
A. $ \exists x \in \mathbf{R}, x^{2} + x - 1 \neq 0 $
B. 不存在 $ x \in \mathbf{R}, x^{2} + x - 1 = 0 $
C. $ \forall x \notin \mathbf{R}, x^{2} + x - 1 \neq 0 $
D. $ \forall x \in \mathbf{R}, x^{2} + x - 1 \neq 0 $
A. $ \exists x \in \mathbf{R}, x^{2} + x - 1 \neq 0 $
B. 不存在 $ x \in \mathbf{R}, x^{2} + x - 1 = 0 $
C. $ \forall x \notin \mathbf{R}, x^{2} + x - 1 \neq 0 $
D. $ \forall x \in \mathbf{R}, x^{2} + x - 1 \neq 0 $
答案
D 改换量词：将命题中的“$\exists$”改为“$\forall$”；否定结论：将结论“$x^{2} + x - 1 = 0$”改为“$x^{2} + x - 1 ≠ 0$”。故原命题的否定是“$\forall x∈R,x^{2} + x - 1 ≠ 0$”。
2. (安徽卷) 命题“所有能被 $ 2 $ 整除的整数都是偶数”的否定是()
A. 所有不能被 $ 2 $ 整除的整数都是偶数
B. 所有能被 $ 2 $ 整除的整数都不是偶数
C. 存在一个不能被 $ 2 $ 整除的整数是偶数
D. 存在一个能被 $ 2 $ 整除的整数不是偶数
A. 所有不能被 $ 2 $ 整除的整数都是偶数
B. 所有能被 $ 2 $ 整除的整数都不是偶数
C. 存在一个不能被 $ 2 $ 整除的整数是偶数
D. 存在一个能被 $ 2 $ 整除的整数不是偶数
答案
D 改换量词：将全称量词“所有”改为存在量词“存在一个”；否定结论：将结论“是偶数”改为“不是偶数”。故原命题的否定是“存在一个能被 2 整除的整数不是偶数”。
3. (多选) 已知命题 $ p $: $ \forall x \in \mathbf{R}, x^{2} - x + 1 ＞ 0 $, 则()
A. 命题 $ p $ 是真命题
B. 命题 $ p $ 的否定是“$ \forall x \in \mathbf{R}, x^{2} - x + 1 = 0 $”
C. 命题 $ p $ 是假命题
D. 命题 $ p $ 的否定是“$ \exists x \in \mathbf{R}, x^{2} - x + 1 \leqslant 0 $”
A. 命题 $ p $ 是真命题
B. 命题 $ p $ 的否定是“$ \forall x \in \mathbf{R}, x^{2} - x + 1 = 0 $”
C. 命题 $ p $ 是假命题
D. 命题 $ p $ 的否定是“$ \exists x \in \mathbf{R}, x^{2} - x + 1 \leqslant 0 $”
答案
AD 因为$x^{2} - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} ＞ 0$，所以命题$p$：$\forall x∈R,x^{2} - x + 1 ＞ 0$为真命题，故 A 正确，C 错误；命题$p$的否定是“$\exists x∈R,x^{2} - x + 1 ≤ 0$”，故 B 错误，D 正确。
4. 命题“$ \exists a \in \{ a \mid - 1 \leqslant a \leqslant 2 \}, ax^{2} + 1 ＜ 0 $”的否定为____.
答案
$\forall a∈\{ a|-1≤a≤2\},ax^{2} + 1≥0$ 改换量词：将命题中的“$\exists$”改为“$\forall$”；否定结论：将“$ax^{2} + 1 ＜ 0$”改为“$ax^{2} + 1≥0$”。故原命题的否定为“$\forall a∈\{ a|-1≤a≤2\},ax^{2} + 1≥0$”。
5. 已知命题 $ p $: $ \exists x \in \mathbf{R}, x^{2} - x - m = 0 $, 若 $ p $ 的否定为真命题, 则实数 $ m $ 的取值范围为____.
答案
$\{ m|m ＜ -\frac{1}{4}\}$ $\because$命题$p$：$\exists x∈R,x^{2} - x - m = 0$，$\therefore$命题$\neg p$：$\forall x∈R,x^{2} - x - m ≠ 0$，且为真命题，即方程$x^{2} - x - m = 0$无实数根，$\therefore\Delta = 1 + 4m ＜ 0$，解得$m ＜ -\frac{1}{4}$。故实数$m$的取值范围为$\{ m|m ＜ -\frac{1}{4}\}$。
