4. 如图 3-1-3-1-3,正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,E,F 分别在 OB,OC 上,$OE= OF$。写出 AE 与 BF 的关系,并说明理由。

解:$AE=BF$且$AE⊥BF$。
理由如下:延长 AE 交 BF 于点 G,如图。

∵ 四边形 ABCD 是正方形,
$\therefore OA=OB,AC⊥BD$。
在$\triangle AOE$和$\triangle BOF$中,
$\left\{\begin{array}{l} OA=OB,\\ ∠AOE=∠BOF,\\ OE=OF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AOE\cong \triangle BOF(SAS),$
$\therefore AE=BF,∠OAE=∠OBF$。
$\because ∠OAE+∠AEO=90^{\circ },∠AEO=∠BEG,$
$\therefore ∠OBF+∠BEG=90^{\circ },$
$\therefore ∠BGE=90^{\circ },$
$\therefore AE⊥BF$。

1. 温故知新
正方形的定义可以作为判断一个平行四边形是否为正方形的依据。满足什么条件的菱形是正方形？满足什么条件的矩形是正方形？

有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形。

2. 探索发现
如图 3 - 1 - 3 - 2 - 1,在△ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,BC 的中点。当△ABC 满足什么条件时,四边形 AEFD 是正方形？请说明理由。
解：△ABC 需满足______,四边形 AEFD 为正方形。
理由如下：
∵D,E,F 分别是 AB,AC,BC 的中点,
∴DF = $\frac{1}{2}$AC,DF//AC,EF = $\frac{1}{2}$AB,EF//AB,
∴四边形 AEFD 是______。
又∵AB = AC,
∴______,
∴□AEFD 是______。
又∵∠A = 90°,
∴菱形 AEFD 是______。

2. $ AB = AC $，且 $ ∠A = 90^{\circ} $ 平行四边形 $ EF = DF $ 菱形 正方形 $ AB = AC $，且 $ ∠A = 90^{\circ} $ 平行四边形 $ EF = DF $ 菱形 正方形

3. 得出结论
边：______的矩形是正方形
角：______的菱形是正方形
对角线：______的矩形是正方形
对角线：______的菱形是正方形

有一组邻边相等 有一个角是直角 对角线互相垂直 对角线相等