1. (北师九上 P39 改编) 你知道吗, 对于一元二次方程, 我国及其他一些国家的古代数学家还研究过其几何解法呢!
下面以方程 $x^{2}+2x - 35 = 0$ 即 $x(x + 2)=35$ 为例加以说明.
三国时期的数学家赵爽 (公元 3 ~ 4 世纪) 在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是: 构造图 1, 一方面, 图中大正方形的面积是 $(x + x + 2)^{2}$; 另一方面, 它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积, 即 $4 × 35+$_________$^{2}$. 据此易得 $x = 5$.
公元 9 世纪, 阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是: 构造图 2, 一方面, 正方形的面积为 $(x +$_________$)^{2}$; 另一方面, 它又等于 $35+$. 据此同样可得 $x = 5$.

2；1；1

赵爽方法：大正方形边长为$2x+2$，面积$(2x+2)^2$。四个矩形面积为$4×35$，中间小正方形边长为$(x+2)-x=2$，面积$2^2$，故第一空填2。阿尔·花拉子米方法：方程$x^2+2x=35$，构造正方形边长$x+1$，面积$(x+1)^2$，其等于$x^2+2x+1=35+1$，故第二空填1，第三空填1。

2. 小星在了解了我国古代数学家赵爽利用几何法对一元二次方程的研究后, 想用此方法解方程 $x^{2}+6x - 16 = 0$. 他构造了如图所示的图形, 请你帮他写出解答过程. (提示: 在几何法中, 代表边长的数为正数.)

$x = 2$

方程变形为$x^2 + 6x = 16$。构造边长为$x$的正方形和长$x$、宽6的矩形，面积之和为16。补边长为3的小正方形（面积9），构成边长为$x + 3$的大正方形，面积为$16 + 9 = 25$。则$x + 3 = 5$（边长为正），解得$x = 2$。

3. 根据阿尔·花拉子米的思路, 下列解方程 $x^{2}-4x - 21 = 0$ 时构造的图形及相应正方形面积 $S$ (阴影部分) 表示正确的是 ()


A.$S = 21 + 4 = 25$
B.$S = 21 - 4 = 17$
C.$S = 21 + 4 = 25$
D.$S = 21 - 4 = 17$

C

解方程$x^2 - 4x - 21 = 0$，移项得$x^2 - 4x = 21$。阿尔·花拉子米采用配方法的几何思路：将$x^2$视为边长为$x$的正方形面积，$-4x$表示从正方形中减去两个长为$x$、宽为$2$的矩形，此时需补一个边长为$2$的小正方形（面积$4$），使图形成为边长为$(x - 2)$的正方形。该正方形面积$S = 21 + 4 = 25$。