训练 1. 为进一步健全城市公园体系,某市大力推动"口袋公园"建设,即在主城区道路与建筑连接处、交叉口的边角地带,通过留白增绿、破硬植绿等方式,打造群众身边的"微景观". 某城区要建设A,B两个口袋公园,口袋公园A的面积比口袋公园B大300m². 目前准备参与竞标的甲、乙两家公司的报价都是:口袋公园A的造价为368万元,口袋公园B的造价为280万元,且口袋公园B平均每平方米的造价是口袋公园A平均每平方米造价的$\frac{7}{8}$.
(1)报价中口袋公园A平均每平方米的造价为多少万元?
(2)为了竞标成功,两家公司在确保质量的前提下,在报价的基础上都进行了优惠,甲公司统一按口袋公园B平均每平方米的造价收费;乙公司统一按九五折收费. 请说明选择哪一家公司更划算.
(1)报价中口袋公园A平均每平方米的造价为多少万元?
(2)为了竞标成功,两家公司在确保质量的前提下,在报价的基础上都进行了优惠,甲公司统一按口袋公园B平均每平方米的造价收费;乙公司统一按九五折收费. 请说明选择哪一家公司更划算.
答案
(1)0.16万元；(2)选择甲公司更划算。
解析
(1)设口袋公园A平均每平方米的造价为$x$万元，则口袋公园B平均每平方米的造价为$\frac{7}{8}x$万元。
由题意得：$\frac{368}{x}-\frac{280}{\frac{7}{8}x}=300$，化简得$\frac{368}{x}-\frac{320}{x}=300$，即$\frac{48}{x}=300$，解得$x=0.16$。经检验，$x=0.16$是原方程的解。
(2)口袋公园A面积：$\frac{368}{0.16}=2300m^2$，口袋公园B面积：$2300 - 300=2000m^2$。
甲公司费用：$(2300 + 2000)×(\frac{7}{8}×0.16)=4300×0.14=602$万元。
乙公司费用：$(368 + 280)×0.95=648×0.95=615.6$万元。
因为$602＜615.6$，所以选择甲公司更划算。
由题意得：$\frac{368}{x}-\frac{280}{\frac{7}{8}x}=300$，化简得$\frac{368}{x}-\frac{320}{x}=300$，即$\frac{48}{x}=300$，解得$x=0.16$。经检验，$x=0.16$是原方程的解。
(2)口袋公园A面积：$\frac{368}{0.16}=2300m^2$，口袋公园B面积：$2300 - 300=2000m^2$。
甲公司费用：$(2300 + 2000)×(\frac{7}{8}×0.16)=4300×0.14=602$万元。
乙公司费用：$(368 + 280)×0.95=648×0.95=615.6$万元。
因为$602＜615.6$，所以选择甲公司更划算。
1. (2025北京)方程$\frac{2}{x - 6}+\frac{1}{x}=0$的解为
x = 2
.答案
$x = 2$
解析
本题可先通过去分母将分式方程化为整式方程，再求解整式方程，最后对所得的根进行检验。
步骤一：去分母化为整式方程
给方程$\frac{2}{x - 6}+\frac{1}{x}=0$两边同时乘以$x(x - 6)$（$x(x - 6)$为方程中两个分式分母$x - 6$与$x$的最简公分母）去分母得：
$2x + x - 6 = 0$
步骤二：求解整式方程
对$2x + x - 6 = 0$进行合并同类项可得：
$3x - 6 = 0$
移项可得：
$3x = 6$
两边同时除以$3$，解得：
$x = 2$
步骤三：检验所得的根
将$x = 2$代入原方程的分母$x - 6$和$x$中：
当$x = 2$时，$x - 6 = 2 - 6 = -4\neq 0$，$x = 2\neq 0$。
分母均不为$0$，所以$x = 2$是原分式方程的解。
步骤一：去分母化为整式方程
给方程$\frac{2}{x - 6}+\frac{1}{x}=0$两边同时乘以$x(x - 6)$（$x(x - 6)$为方程中两个分式分母$x - 6$与$x$的最简公分母）去分母得：
$2x + x - 6 = 0$
步骤二：求解整式方程
对$2x + x - 6 = 0$进行合并同类项可得：
$3x - 6 = 0$
移项可得：
$3x = 6$
两边同时除以$3$，解得：
$x = 2$
步骤三：检验所得的根
将$x = 2$代入原方程的分母$x - 6$和$x$中：
当$x = 2$时，$x - 6 = 2 - 6 = -4\neq 0$，$x = 2\neq 0$。
分母均不为$0$，所以$x = 2$是原分式方程的解。
2. (2025浙江)解分式方程:$\frac{3}{x + 1}-\frac{1}{x - 1}=0$.
答案
$x = 2$
解析
本题可通过去分母将分式方程化为整式方程，然后求解整式方程，最后对所得的根进行检验。
步骤一：去分母化为整式方程
给方程$\frac{3}{x + 1}-\frac{1}{x - 1}=0$两边同时乘以$(x + 1)(x - 1)$（$(x + 1)(x - 1)$为$x + 1$与$x - 1$的最简公分母）去分母得：
$3(x - 1)-(x + 1)=0$
步骤二：求解整式方程
去括号：根据乘法分配律$a(b-c)=ab-ac$，可得$3(x - 1)=3x-3$，则原方程变为$3x - 3 - x - 1 = 0$。
合并同类项：将含有$x$的项合并，常数项合并，得到$(3x - x)+(-3 - 1)=0$，即$2x - 4 = 0$。
移项：将常数项$-4$移到等号右边得$2x = 4$。
系数化为$1$：两边同时除以$2$，解得$x = 2$。
步骤三：检验根的有效性
将$x = 2$代入原方程的分母$x + 1$和$x - 1$中：
当$x = 2$时，$x + 1=2 + 1 = 3\neq 0$，$x - 1=2 - 1 = 1\neq 0$。
分母均不为$0$，所以$x = 2$是原分式方程的根。
步骤一：去分母化为整式方程
给方程$\frac{3}{x + 1}-\frac{1}{x - 1}=0$两边同时乘以$(x + 1)(x - 1)$（$(x + 1)(x - 1)$为$x + 1$与$x - 1$的最简公分母）去分母得：
$3(x - 1)-(x + 1)=0$
步骤二：求解整式方程
去括号：根据乘法分配律$a(b-c)=ab-ac$，可得$3(x - 1)=3x-3$，则原方程变为$3x - 3 - x - 1 = 0$。
合并同类项：将含有$x$的项合并，常数项合并，得到$(3x - x)+(-3 - 1)=0$，即$2x - 4 = 0$。
移项：将常数项$-4$移到等号右边得$2x = 4$。
系数化为$1$：两边同时除以$2$，解得$x = 2$。
步骤三：检验根的有效性
将$x = 2$代入原方程的分母$x + 1$和$x - 1$中：
当$x = 2$时，$x + 1=2 + 1 = 3\neq 0$，$x - 1=2 - 1 = 1\neq 0$。
分母均不为$0$，所以$x = 2$是原分式方程的根。
3. (2025江西改编)小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车,燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同,且每百公里的耗油费比耗电费多50元,求纯电汽车每百公里的耗电费.
答案
10
解析
设纯电汽车每百公里耗电费为$x$元，则燃油汽车每百公里耗油费为$(x + 50)$元，
根据题意得$\frac{6000}{x + 50} = \frac{1000}{x}$，
方程两边同乘$x(x + 50)$去分母得$6000x = 1000(x + 50)$，
展开得$6000x = 1000x+50000$，
移项得$6000x - 1000x = 50000$，
合并同类项得$5000x = 50000$，
解得$x = 10$，
检验：当$x = 10$时，$x(x + 50)=10×(10 + 50)=600\neq0$，
所以$x = 10$是原分式方程的解，且符合题意。
根据题意得$\frac{6000}{x + 50} = \frac{1000}{x}$，
方程两边同乘$x(x + 50)$去分母得$6000x = 1000(x + 50)$，
展开得$6000x = 1000x+50000$，
移项得$6000x - 1000x = 50000$，
合并同类项得$5000x = 50000$，
解得$x = 10$，
检验：当$x = 10$时，$x(x + 50)=10×(10 + 50)=600\neq0$，
所以$x = 10$是原分式方程的解，且符合题意。
