教材溯源→1.（人教九下 P19）
如图 1，取一根长 $ 100 \, \mathrm{cm} $ 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 $ O $ 并将其吊起来，在中点 $ O $ 的左侧距离中点 $ O $ $ 25 \, \mathrm{cm} $ 处挂一个重 $ 9.8 \, \mathrm{N} $ 的物体，在中点 $ O $ 右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态. 改变弹簧秤与中点 $ O $ 的距离 $ L $（单位：$ \mathrm{cm} $），看弹簧秤的示数 $ F $（单位：$ \mathrm{N} $）有什么变化，并填写下表：

| L/cm | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
|------|-----|------|-------|------|------|-------|-----|-------|-------|
| F/N | | | | | | | | | |
如图 2，以 $ L $ 的数值为横坐标，$ F $ 的数值为纵坐标建立直角坐标系. 在坐标系中描出以上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点. 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？点 $ (50,4.9) $ 在这条曲线上吗？

解:
曲线是否为反比例函数图象的一支：
是。
理由：由杠杆平衡条件得 $ F × L = 9.8 × 25 = 245 $，即 $ F = \frac{245}{L} $，符合反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $（$ k = 245 $，$ k ＞ 0 $）的形式，故曲线是反比例函数在第一象限的一支。
点$(50, 4.9)$是否在曲线上：
在。
验证：当 $ L = 50 \, \mathrm{cm} $ 时，$ F = \frac{245}{50} = 4.9 \, \mathrm{N} $，故点$(50, 4.9)$在曲线上。

母题变式→2.(2025 开封一模)
物理学中 $ F_1,L_1 $ 分别表示动力和动力臂，$ F_2,L_2 $ 分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，$ F_1L_1 = F_2L_2 $.
如图 1，某兴趣小组取一根长 $ 40 \, \mathrm{cm} $ 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 $ O $ 并将其吊起来. 在中点 $ O $ 的左侧且与 $ O $ 相距 $ 10 \, \mathrm{cm} $ 处挂一个重 $ 5 \, \mathrm{N} $ 的物体，在中点 $ O $ 右侧挂一个弹簧测力计(质量忽略不计)并用手向下拉，使木杆处于平衡状态. 当弹簧测力计与中点 $ O $ 的距离 $ L $(单位：$ \mathrm{cm} $)改变时，弹簧测力计的拉力 $ F $(单位：$ \mathrm{N} $)也随之改变.
(1) 当 $ L = 4 \, \mathrm{cm} $ 时，$ F = $ $ \mathrm{N} $.
(2) 在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为 $ 4 \, \mathrm{cm} $，弹簧测力计的拉力 $ F $(单位：$ \mathrm{N} $)是弹簧伸长的长度 $ x $(单位：$ \mathrm{cm} $)的正比例函数，如图 2 所示. 求出 $ L $ 与 $ x $ 之间的函数解析式(写出 $ x $ 的取值范围)，并在图 3 画出此函数图象.

$解:(1)12.5$
(2)因为$F$是$x$的正比例函数，设$F = kx$（$k\neq0$）。
把$x = 1$，$F = 2$代入$F = kx$，得$2=k×1$，解得$k = 2$，所以$F = 2x$。
根据杠杆平衡原理$F_1L_1=F_2L_2$：
已知$F_1 = 5N$，$L_1 = 10cm$，$F_2=F = 2x$，$L_2 = L$。
由$F_1L_1=F_2L_2$，可得$5×10=2x· L$。
解关于$L$的方程：
由$50 = 2xL$，得$L=\frac{25}{x}$。
又因为弹簧伸长的最大长度为$4cm$，且$x\gt0$，
所以$x$的取值范围是$0\lt x\leqslant4$。。
所以$L$与$x$之间的函数解析式为$L=\frac{25}{x}(0\lt x\leqslant4)$。