一、弧长与扇形面积
1. 圆的周长公式：
2. 弧长公式：$l=$
3. 圆的面积公式：
4. 扇形面积公式：$S=$
1. 圆的周长公式：
① $2\pi R$
2. 弧长公式：$l=$
② $\frac{n\pi R}{180}$
3. 圆的面积公式：
③ $\pi R^2$
4. 扇形面积公式：$S=$
④ $\frac{n\pi R^2}{360}$
答案
① $2\pi R$
② $\frac{n\pi R}{180}$
③ $\pi R^2$
④ $\frac{n\pi R^2}{360}$
② $\frac{n\pi R}{180}$
③ $\pi R^2$
④ $\frac{n\pi R^2}{360}$
对点训练 1. 若扇形的圆心角为$ 36^{\circ} $，半径为 4，则该扇形的弧长为
$\frac{4\pi}{5}$
，面积为$\frac{8\pi}{5}$
。(结果保留$ \pi $)答案
$\frac{4\pi}{5}$，$\frac{8\pi}{5}$
解析
弧长公式：$l = \frac{n\pi r}{180}$，其中$n = 36^{\circ}$，$r = 4$，则$l = \frac{36\pi × 4}{180} = \frac{144\pi}{180} = \frac{4\pi}{5}$。
面积公式：$S = \frac{n\pi r^2}{360}$，则$S = \frac{36\pi × 4^2}{360} = \frac{36\pi × 16}{360} = \frac{576\pi}{360} = \frac{8\pi}{5}$。
面积公式：$S = \frac{n\pi r^2}{360}$，则$S = \frac{36\pi × 4^2}{360} = \frac{36\pi × 16}{360} = \frac{576\pi}{360} = \frac{8\pi}{5}$。
二、圆锥的相关计算
⑤
⑥
⑦
⑤
$2\pi r$
⑥
$\pi r l$
⑦
$\pi r l$
答案
⑤ $2\pi r$
⑥ $\pi r l$
⑦ $\pi r l$
解析
1. 底面圆周长公式为 $C = 2\pi r$，故 ⑤ 填 $2\pi r$。
2. 圆锥的侧面积公式为 $S_{\mathrm{侧}} = \pi r l$，故 ⑥ 填 $\pi r l$。
3. 侧面积公式用弧长表示为 $S_{\mathrm{侧}} = \frac{1}{2} l · C$，而 $C = 2\pi r$，代入后得 $S_{\mathrm{侧}} = \frac{1}{2} l · 2\pi r = \pi r l$，故 ⑦ 填 $ \pi r l$（或可填 $\frac{1}{2} l · 2\pi r$，但一般简化为 $\pi r l$）。
对点训练 2.(人教九上 P115)用一个圆心角为$ 120^{\circ} $，半径为 4 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为
$\frac{4}{3}$
。答案
$\frac{4}{3}$
解析
扇形的弧长公式为$l=\frac{n\pi r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），已知圆心角$n = 120^{\circ}$，半径$r = 4$，将其代入公式可得弧长$l=\frac{120\pi×4}{180}=\frac{8\pi}{3}$。
因为该扇形作圆锥的侧面，所以扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为$R$，根据圆的周长公式$C = 2\pi R$，可得$2\pi R=\frac{8\pi}{3}$，解得$R=\frac{4}{3}$。
因为该扇形作圆锥的侧面，所以扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为$R$，根据圆的周长公式$C = 2\pi R$，可得$2\pi R=\frac{8\pi}{3}$，解得$R=\frac{4}{3}$。
对点训练 3.(北师九下 P97 改编)如图，在圆内接正六边形$ ABCDEF $中，半径$ OC = 4 $，$ OG ⊥ BC $，垂足为$ G $，则这个正六边形的中心角为
60°
，边长为4
，边心距为2√3
。答案
$60°$；$4$；$2\sqrt{3}$
解析
1. 中心角：正六边形的中心角为$360°÷6 = 60°$。
2. 边长：连接$OB$，$OC$，$\triangle OBC$为等边三角形（中心角$60°$，$OB=OC$），所以边长$BC = OC = 4$。
3. 边心距：$OG⊥ BC$，$G$为$BC$中点，$CG=\frac{1}{2}BC = 2$，在$Rt\triangle OGC$中，$OG=\sqrt{OC^2 - CG^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。
2. 边长：连接$OB$，$OC$，$\triangle OBC$为等边三角形（中心角$60°$，$OB=OC$），所以边长$BC = OC = 4$。
3. 边心距：$OG⊥ BC$，$G$为$BC$中点，$CG=\frac{1}{2}BC = 2$，在$Rt\triangle OGC$中，$OG=\sqrt{OC^2 - CG^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。
