一题多问 例1 已知四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径.
(1)如图1,连接OB,OD,BD.
①若∠BOD=110°,则∠BAD=,∠BCD=;
②若∠ABD=50°,则∠ACD=,∠CAD=.
(2)如图2,若BD⊥AC于点E,BD=8,CE=2,则⊙O的半径为.
(3)如图3,若DB平分∠ADC,交AC于点E.
①判断△ABC的形状并证明;
②若AB=5√2,AD=8,求OE的长.

(1)①55°，125°；②50°，40°；(2)5；(3)①等腰直角三角形；②5/7

(1)①∵∠BOD=110°，∠BAD是弧BD所对圆周角，∴∠BAD=1/2∠BOD=55°；∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=180°-∠BAD=125°。
②∵∠ABD=50°，∠ABD与∠ACD均对弧AD，∴∠ACD=∠ABD=50°；AC为直径，∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠ACD=40°。
(2)设半径为r，AC=2r，OE=r-2，AE=2r-2。BD⊥AC，BE=ED=4，由相交弦定理得(2r-2)×2=4×4，解得r=5。
(3)①△ABC是等腰直角三角形。证明：DB平分∠ADC，∠ADB=∠CDB，∵∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，AB=BC；AC为直径，∠ABC=90°，故△ABC是等腰直角三角形。
②AC=√(AB²+BC²)=10，半径为5。在Rt△ADC中，DC=√(AC²-AD²)=6。DB平分∠ADC，由角平分线定理得AE/EC=AD/DC=4/3，AC=10，AE=40/7，OE=AE-AO=40/7-5=5/7。