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10. 如图,在平面直角坐标系中,正方形 $ ABCD $ 的顶点 $ A $,$ B $ 分别在 $ y $ 轴和 $ x $ 轴上,且对角线 $ AC // x $ 轴,若正方形 $ ABCD $ 的周长为 $ 8\sqrt{2} $,则点 $ C $ 的坐标为
(-4,2)
。答案
(-4,2)
解析
设正方形边长为$l$，周长为$8\sqrt{2}$，则$4l=8\sqrt{2}\Rightarrow l=2\sqrt{2}$。正方形对角线长为$l\sqrt{2}=2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$。
设$A(0,a)$（$A$在$y$轴），$AC// x$轴，故$C(c,a)$，$AC=|c-0|=4\Rightarrow c=-4$（$C$在$A$左侧，$c＜0$），则$C(-4,a)$。
设$B(b,0)$（$B$在$x$轴），$AB$为边，$AB=\sqrt{b^2+a^2}=2\sqrt{2}\Rightarrow b^2+a^2=8$。向量$\overrightarrow{AB}=(b,-a)$，$\overrightarrow{BC}=(-4-b,a)$，由$AB\perp BC$得$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=b(-4-b)-a^2=0$。
将$b^2+a^2=8$代入得$-4b-8=0\Rightarrow b=-2$。代入$b^2+a^2=8$得$(-2)^2+a^2=8\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=2$（$a＞0$）。
故$C(-4,2)$。
设$A(0,a)$（$A$在$y$轴），$AC// x$轴，故$C(c,a)$，$AC=|c-0|=4\Rightarrow c=-4$（$C$在$A$左侧，$c＜0$），则$C(-4,a)$。
设$B(b,0)$（$B$在$x$轴），$AB$为边，$AB=\sqrt{b^2+a^2}=2\sqrt{2}\Rightarrow b^2+a^2=8$。向量$\overrightarrow{AB}=(b,-a)$，$\overrightarrow{BC}=(-4-b,a)$，由$AB\perp BC$得$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=b(-4-b)-a^2=0$。
将$b^2+a^2=8$代入得$-4b-8=0\Rightarrow b=-2$。代入$b^2+a^2=8$得$(-2)^2+a^2=8\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=2$（$a＞0$）。
故$C(-4,2)$。
11. 在平面直角坐标系中,以任意两点 $ P(x_1,y_1) $,$ Q(x_2,y_2) $ 为端点的线段的中点坐标为 $ (\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2}) $。现有 $ A(3,4) $,$ B(1,8) $,$ C(-2,6) $ 三点,已知点 $ D $ 为线段 $ AB $ 的中点,点 $ C $ 为线段 $ AE $ 的中点,则线段 $ DE $ 的中点坐标为
$(-\frac{5}{2},7)$（或者 $(-2.5,7)$）
。答案
$(-\frac{5}{2},7)$（或者 $(-2.5,7)$）
解析
1. 首先求点 $D$ 的坐标：
已知$A(3,4)$，$B(1,8)$，根据中点坐标公式，若有两点$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，其中点坐标为$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$。
对于$A(3,4)$，$B(1,8)$，$x_D=\frac{3 + 1}{2}=2$，$y_D=\frac{4 + 8}{2}=6$，所以$D(2,6)$。
2. 然后求点 $E$ 的坐标：
设$E(x,y)$，因为点$C(-2,6)$为线段$AE$的中点，$A(3,4)$，根据中点坐标公式可得$\begin{cases}\frac{3 + x}{2}=-2\\frac{4 + y}{2}=6\end{cases}$。
由$\frac{3 + x}{2}=-2$，等式两边同时乘以$2$得$3 + x=-4$，解得$x=-7$。
由$\frac{4 + y}{2}=6$，等式两边同时乘以$2$得$4 + y = 12$，解得$y = 8$，所以$E(-7,8)$。
3. 最后求线段$DE$的中点坐标：
已知$D(2,6)$，$E(-7,8)$，根据中点坐标公式，$x=\frac{2+(-7)}{2}=-\frac{5}{2}$，$y=\frac{6 + 8}{2}=7$。
已知$A(3,4)$，$B(1,8)$，根据中点坐标公式，若有两点$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，其中点坐标为$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$。
对于$A(3,4)$，$B(1,8)$，$x_D=\frac{3 + 1}{2}=2$，$y_D=\frac{4 + 8}{2}=6$，所以$D(2,6)$。
2. 然后求点 $E$ 的坐标：
设$E(x,y)$，因为点$C(-2,6)$为线段$AE$的中点，$A(3,4)$，根据中点坐标公式可得$\begin{cases}\frac{3 + x}{2}=-2\\frac{4 + y}{2}=6\end{cases}$。
由$\frac{3 + x}{2}=-2$，等式两边同时乘以$2$得$3 + x=-4$，解得$x=-7$。
由$\frac{4 + y}{2}=6$，等式两边同时乘以$2$得$4 + y = 12$，解得$y = 8$，所以$E(-7,8)$。
3. 最后求线段$DE$的中点坐标：
已知$D(2,6)$，$E(-7,8)$，根据中点坐标公式，$x=\frac{2+(-7)}{2}=-\frac{5}{2}$，$y=\frac{6 + 8}{2}=7$。
12. 如图,已知平面直角坐标系内两点 $ A(3\sqrt{3},0) $ 和 $ B(0,3) $,以线段 $ AB $ 为边作等边三角形 $ ABC $,求顶点 $ C $ 的坐标。
答案
解：
1. 计算AB长度：
$A(3\sqrt{3},0)$，$B(0,3)$，$OA=3\sqrt{3}$，$OB=3$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{27+9}=6$。
2. 设$C(x,y)$，因$\triangle ABC$为等边三角形，故$AC=BC=6$，列方程组：
$\begin{cases}(x-3\sqrt{3})^2+y^2=36 \\ x^2+(y-3)^2=36\end{cases}$
3. 展开并化简：
①式：$x^2-6\sqrt{3}x+27+y^2=36\Rightarrow x^2+y^2-6\sqrt{3}x=9$
②式：$x^2+y^2-6y+9=36\Rightarrow x^2+y^2-6y=27$
①-②得：$-6\sqrt{3}x+6y=-18\Rightarrow y=\sqrt{3}x-3$。
4. 代入求解：
将$y=\sqrt{3}x-3$代入①式，得$4x(x-3\sqrt{3})=0$，
解得$x=0$或$x=3\sqrt{3}$。
5. 求坐标：
当$x=3\sqrt{3}$时，$y=\sqrt{3}\cdot3\sqrt{3}-3=6$，得$C(3\sqrt{3},6)$；
当$x=0$时，$y=\sqrt{3}\cdot0-3=-3$，得$C(0,-3)$。
结论：
顶点$C$的坐标为$(3\sqrt{3},6)$或$(0,-3)$。
1. 计算AB长度：
$A(3\sqrt{3},0)$，$B(0,3)$，$OA=3\sqrt{3}$，$OB=3$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{27+9}=6$。
2. 设$C(x,y)$，因$\triangle ABC$为等边三角形，故$AC=BC=6$，列方程组：
$\begin{cases}(x-3\sqrt{3})^2+y^2=36 \\ x^2+(y-3)^2=36\end{cases}$
3. 展开并化简：
①式：$x^2-6\sqrt{3}x+27+y^2=36\Rightarrow x^2+y^2-6\sqrt{3}x=9$
②式：$x^2+y^2-6y+9=36\Rightarrow x^2+y^2-6y=27$
①-②得：$-6\sqrt{3}x+6y=-18\Rightarrow y=\sqrt{3}x-3$。
4. 代入求解：
将$y=\sqrt{3}x-3$代入①式，得$4x(x-3\sqrt{3})=0$，
解得$x=0$或$x=3\sqrt{3}$。
5. 求坐标：
当$x=3\sqrt{3}$时，$y=\sqrt{3}\cdot3\sqrt{3}-3=6$，得$C(3\sqrt{3},6)$；
当$x=0$时，$y=\sqrt{3}\cdot0-3=-3$，得$C(0,-3)$。
结论：
顶点$C$的坐标为$(3\sqrt{3},6)$或$(0,-3)$。
13. 如图,已知 $ A $,$ B $ 两村庄的坐标分别为 $ (2,2) $,$ (5,1) $,一辆汽车从原点 $ O $ 出发,在 $ x $ 轴所代表的公路上行驶。
(1)汽车行驶到离 $ B $ 村最近的点的坐标是
(2)汽车行驶到 $ x $ 轴上的某一点 $ P $ 时到 $ A $,$ B $ 两村的距离之差最大。
①请在图中标出点 $ P $,并写出点 $ P $ 的坐标；
②求出 $ PA - PB $ 的最大值,并说明理由；
(3)在 $ y $ 轴上有一村庄 $ Q $,若 $ Q $ 村到 $ A $ 村的距离等于 $ A $ 村到 $ B $ 村的距离,请你求出 $ Q $ 村的坐标。
(1)汽车行驶到离 $ B $ 村最近的点的坐标是
(5,0)
；(2)汽车行驶到 $ x $ 轴上的某一点 $ P $ 时到 $ A $,$ B $ 两村的距离之差最大。
①请在图中标出点 $ P $,并写出点 $ P $ 的坐标；
(4,0)
②求出 $ PA - PB $ 的最大值,并说明理由；
最大值为 $3\sqrt{2}$。理由：作点B关于x轴的对称点$B'(5,-1)$，连接$AB'$交x轴于点P，此时$PA - PB = PA - PB' = AB'$。由两点间距离公式得$AB' = \sqrt{(5-2)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$，即$PA - PB$的最大值为$3\sqrt{2}$。
(3)在 $ y $ 轴上有一村庄 $ Q $,若 $ Q $ 村到 $ A $ 村的距离等于 $ A $ 村到 $ B $ 村的距离,请你求出 $ Q $ 村的坐标。
设$Q(0,q)$，$AB = \sqrt{(5-2)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{10}$。由$QA = AB$得$\sqrt{(2-0)^2 + (2 - q)^2} = \sqrt{10}$，平方得$4 + (2 - q)^2 = 10$，即$(2 - q)^2 = 6$，解得$q = 2 \pm \sqrt{6}$，故$Q(0, 2 + \sqrt{6})$或$(0, 2 - \sqrt{6})$。
答案
(1) (5,0)
(2) ① (4,0)
② 最大值为 $3\sqrt{2}$。理由：作点B关于x轴的对称点$B'(5,-1)$，连接$AB'$交x轴于点P，此时$PA - PB = PA - PB' = AB'$。由两点间距离公式得$AB' = \sqrt{(5-2)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$，即$PA - PB$的最大值为$3\sqrt{2}$。
(3) 设$Q(0,q)$，$AB = \sqrt{(5-2)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{10}$。由$QA = AB$得$\sqrt{(2-0)^2 + (2 - q)^2} = \sqrt{10}$，平方得$4 + (2 - q)^2 = 10$，即$(2 - q)^2 = 6$，解得$q = 2 \pm \sqrt{6}$，故$Q(0, 2 + \sqrt{6})$或$(0, 2 - \sqrt{6})$。
(2) ① (4,0)
② 最大值为 $3\sqrt{2}$。理由：作点B关于x轴的对称点$B'(5,-1)$，连接$AB'$交x轴于点P，此时$PA - PB = PA - PB' = AB'$。由两点间距离公式得$AB' = \sqrt{(5-2)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$，即$PA - PB$的最大值为$3\sqrt{2}$。
(3) 设$Q(0,q)$，$AB = \sqrt{(5-2)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{10}$。由$QA = AB$得$\sqrt{(2-0)^2 + (2 - q)^2} = \sqrt{10}$，平方得$4 + (2 - q)^2 = 10$，即$(2 - q)^2 = 6$，解得$q = 2 \pm \sqrt{6}$，故$Q(0, 2 + \sqrt{6})$或$(0, 2 - \sqrt{6})$。
