8. 一个两位数,个位数字为 $ x $,十位数字为 $ y $,现将数位上的两个数字对调得新两位数,那么原两位数与新两位数的和能被 11 整除吗？请说明理由.

原两位数为 $10y + x$，新两位数为 $10x + y$。
原两位数与新两位数的和为：
$(10y + x) + (10x + y) = 11x + 11y = 11(x + y)$
因为 $11(x + y)$ 是 11 的倍数，所以原两位数与新两位数的和能被 11 整除。
结论：能被 11 整除。

9. 甲、乙、丙、丁四个运动员参加比赛. 赛前,甲说：“我肯定是最后一名.”乙说：“我不可能是第一名,也不可能是最后一名.”丙说：“我绝对不会是最后一名.”丁说：“我肯定得第一名.”赛后,发现他们 4 人的预测中只有一人是错误的,则的预测是错误的.

丁

假设甲、乙、丙、丁中仅一人的预测错误：
1.如果甲错：
则甲不是最后一名，其他三人都预测正确。
乙不是第一也不是最后，丙不是最后，丁是第一，矛盾（因为丁第一与甲不是最后，但丙也不可能是最后，则没有人是最后一名）。
2.如果乙错：
则乙可能是第一或最后一名，其他三人预测正确。
甲是最后，丙不是最后，丁是第一，则乙只能是第二或第三，与乙可能是第一或最后矛盾。
3.如果丙错：
则丙是最后一名，其他三人预测正确。
甲是最后与丙是最后矛盾。
4.如果丁错：
则丁不是第一名，其他三人预测正确。
甲是最后，乙不是第一也不是最后，丙不是最后，则丙是第一，丁是第二或第三，乙是第二或第三，没有矛盾。
因此丁的预测是错误的。

10. 小洁、琳琳、小彤、奇奇和聪聪 5 位同学身体都不舒服,他们分别在医院的牙科、眼科、皮肤科、外科、耳鼻喉科就诊,根据他们的对话猜猜他们分别去了哪一个科室看病,说明你是如何运用推理一步一步得到结论的.
小洁、琳琳、小彤：“我们是在牙科、眼科和皮肤科各自接受治疗的.”
奇奇说：“我没有去皮肤科和耳鼻喉科.”
小彤说：“我的牙不好.”
小洁说：“我没去皮肤科.”

首先，根据小彤说“我的牙不好”，可以确定小彤去了牙科。
接着，小洁说“我没去皮肤科”，且小洁、琳琳、小彤三人只能在牙科、眼科和皮肤科各自接受治疗，由于小彤已经确定为牙科，所以小洁只能去眼科。
然后，琳琳则因为剩下皮肤科而确定去皮肤科。
再来看奇奇，他说“我没有去皮肤科和耳鼻喉科”，由于皮肤科和耳鼻喉科已被排除，且外科是唯一剩下的未被提及的科室（因为五个科室中，牙科、眼科、皮肤科已确定有人去，耳鼻喉科被奇奇自己排除），所以奇奇去了外科。
最后，聪聪作为唯一还未确定科室的人，只能去剩下的耳鼻喉科。
综上所述：
小彤去了牙科。
小洁去了眼科。
琳琳去了皮肤科。
奇奇去了外科。
聪聪去了耳鼻喉科。

11. 观察下列关于自然数的等式：
$ 2×0 + 1 = 1^{2} $①,
$ 4×2 + 1 = 3^{2} $②,
$ 8×6 + 1 = 7^{2} $③,
$ 16×14 + 1 = 15^{2} $④,
……
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第 5 个等式：$ 32× $$ + 1 = $______；
(2)写出你猜想的第 $ n $ 个等式(用含 $ n $ 的式子表示),并验证其正确性.

(1)
第一个空：30；
第二个空：$31^{2}$（或 961）；
具体等式为：$32×30 + 1 = 31^{2}$（或$32×30 + 1 = 961$）；
(2)
猜想的第$n$个等式为：$2^{n}×(2^{n} - 2)+1=(2^{n} - 1)^{2}$；
验证：
左边$=2^{n}×(2^{n} - 2)+1$
$=2^{2n}-2^{n + 1}+1$
右边$=(2^{n}-1)^{2}$
$=2^{2n}-2^{n + 1}+1$
左边 = 右边，所以猜想正确。