1. 把三角形纸片 $ ABC $ 沿 $ EF $ 折叠，折叠后的图形如图所示。若 $ ∠ A = 60° $，$ ∠ 1 = 95° $，则 $ ∠ 2 $ 的度数为()


A.$ 24° $
B.$ 25° $
C.$ 30° $
D.$ 35° $

1. B 解析:由折叠的性质,得$∠ B^{\prime}=∠ B$,$∠ C^{\prime}=∠ C$.因为$∠ A=60°$,所以$∠ B^{\prime}+∠ C^{\prime}=∠ B+∠ C=180°-∠ A=120°$,$∠ AFE+∠ AEF=180°-∠ A=120°$.在四边形$B^{\prime}C^{\prime}FE$中,$∠ B^{\prime}+∠ C^{\prime}+∠ C^{\prime}FE+∠ B^{\prime}EF=360°$,即$∠ B^{\prime}+∠ C^{\prime}+∠ 2+∠ AFE+∠ 1+∠ AEF=360°$,所以$∠ 2=360°-(∠ B^{\prime}+∠ C^{\prime})-∠ 1-(∠ AFE+∠ AEF)=360°-120°-95°-120°=25°$.

2. (2025·江苏宿迁期末)将一张长方形纸片 $ ABCD $ 按如图所示操作：(1)将 $ DA $ 沿 $ DP $ 向内折叠，使点 $ A $ 落在点 $ A_1 $ 处；(2)将 $ DP $ 沿 $ DA_1 $ 向内继续折叠，使点 $ P $ 落在点 $ P_1 $ 处，折痕与边 $ AB $ 交于点 $ M $。若 $ P_1M ⊥ AB $，则 $ ∠ DP_1M $ 的度数是()


A.$ 135° $
B.$ 120° $
C.$ 112.5° $
D.$ 115° $

2. C 解析:因为$P_{1}M⊥ AB$,所以$∠ P_{1}MA=90°$.由折叠的性质,得$∠ P_{1}MD=∠ AMD=\frac{1}{2}∠ P_{1}MA=45°$,$∠ P_{1}DM=∠ PDM=∠ PDA$.因为$∠ A=90°$,所以$∠ ADM=180°-∠ A-∠ AMD=45°$,所以$∠ P_{1}DM=∠ PDM=∠ PDA=\frac{1}{2}∠ ADM=22.5°$,所以$∠ DP_{1}M=180°-∠ P_{1}MD-∠ P_{1}DM=112.5°$.

3. (新素养 几何直观)如图，将四边形纸片 $ ABCD $ 沿 $ MN $ 折叠，点 $ A $，$ D $ 分别落在点 $ A_1 $，$ D_1 $ 处。若 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 140° $，则 $ ∠ B + ∠ C = $。

3. $110°$ 解析:由折叠的性质,得$∠ A_{1}MN=∠ AMN=\frac{1}{2}∠ AMA_{1}$,$∠ D_{1}NM=∠ DNM=\frac{1}{2}∠ DND_{1}$.因为$∠ 1+∠ AMA_{1}=180°$,$∠ 2+∠ DND_{1}=180°$,$∠ 1+∠ 2=140°$,所以$∠ AMN+∠ DNM=\frac{1}{2}(∠ AMA_{1}+∠ DND_{1})=\frac{1}{2}(180°-∠ 1+180°-∠ 2)=180°-\frac{1}{2}(∠ 1+∠ 2)=110°$.因为$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360°$,$∠ A+∠ AMN+∠ DNM+∠ D=360°$,所以$∠ B+∠ C=∠ AMN+∠ DNM=110°$.

4. (2025·江苏南京期末)如图，将三角形纸片 $ ABC $ 沿 $ DE $ 折叠，使点 $ A $ 落在点 $ A_1 $ 处。若 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 260° $，则 $ ∠ A $ 的度数为。

4. $40°$ 解析:由折叠的性质,得$∠ A_{1}DE=∠ ADE$,$∠ A_{1}ED=∠ AED$.因为$∠ ADE+∠ A_{1}DE+∠ 1=180°$,$∠ AED+∠ A_{1}ED+∠ 2=360°$,所以$∠ ADE+∠ A_{1}DE+∠ AED+∠ A_{1}ED+∠ 1+∠ 2=540°$,所以$2(∠ ADE+∠ AED)+∠ 1+∠ 2=540°$.因为$∠ 1+∠ 2=260°$,所以$∠ ADE+∠ AED=140°$,所以$∠ A=180°-(∠ ADE+∠ AED)=40°$.

5. 如图，$ AB $，$ CD $ 相交于点 $ O $，连接 $ AD $，$ BC $，$ ∠ DAB $ 和 $ ∠ BCD $ 的平分线相交于点 $ P $，并且分别与 $ CD $，$ AB $ 相交于点 $ M $，$ N $，则 $ ∠ P $ 与 $ ∠ B $，$ ∠ D $ 之间的数量关系为。

5. $2∠ P=∠ B+∠ D$ 解析:因为$∠ DAM+∠ D+∠ AMD=180°$,$∠ P+∠ PCM+∠ PMC=180°$,$∠ AMD=∠ PMC$,所以$∠ DAM+∠ D=∠ P+∠ PCM$.因为$∠ BCN+∠ B+∠ BNC=180°$,$∠ P+∠ PAN+∠ PNA=180°$,$∠ BNC=∠ PNA$,所以$∠ BCN+∠ B=∠ P+∠ PAN$,所以$∠ DAM+∠ D+∠ BCN+∠ B=∠ P+∠ PCM+∠ P+∠ PAN$.因为$∠ DAB$和$∠ BCD$的平分线相交于点$P$,所以$∠ DAM=∠ PAN$,$∠ PCM=∠ BCN$,所以$2∠ P=∠ B+∠ D$.

6. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ A + ∠ B = 200° $，作 $ ∠ ADC $，$ ∠ BCD $ 的平分线交于点 $ O_1 $ 称为第 1 次操作，作 $ ∠ O_1DC $，$ ∠ O_1CD $ 的平分线交于点 $ O_2 $ 称为第 2 次操作，作 $ ∠ O_2DC $，$ ∠ O_2CD $ 的平分线交于点 $ O_3 $ 称为第 3 次操作……则第 5 次操作后 $ ∠ CO_5D $ 的度数是。

6. $175°$ 解析:因为$∠ A+∠ B+∠ ADC+∠ BCD=360°$,$∠ A+∠ B=200°$,所以$∠ ADC+∠ BCD=360°-(∠ A+∠ B)=160°$.因为$DO_{1}$平分$∠ ADC$,$CO_{1}$平分$∠ BCD$,所以$∠ O_{1}DC=\frac{1}{2}∠ ADC$,$∠ O_{1}CD=\frac{1}{2}∠ BCD$,所以$∠ O_{1}DC+∠ O_{1}CD=\frac{1}{2}(∠ ADC+∠ BCD)$.因为$DO_{2}$平分$∠ O_{1}DC$,$CO_{2}$平分$∠ O_{1}CD$,所以$∠ O_{2}DC+∠ O_{2}CD=\frac{1}{2}(∠ O_{1}DC+∠ O_{1}CD)=\frac{1}{2^{2}}(∠ ADC+∠ BCD)$.同理可得$∠ O_{5}DC+∠ O_{5}CD=\frac{1}{2^{5}}(∠ ADC+∠ BCD)=\frac{1}{32}×160°=5°$,所以$∠ CO_{5}D=180°-(∠ O_{5}DC+∠ O_{5}CD)=175°$.