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基础知识·预习
问题1 利用直尺和圆规作一个角等于已知角的一般步骤是什么？它的依据是什么？
问题2 若已知两边及其夹角、两角及其夹边，利用直尺和圆规如何作出三角形？
问题1 利用直尺和圆规作一个角等于已知角的一般步骤是什么？它的依据是什么？
问题2 若已知两边及其夹角、两角及其夹边，利用直尺和圆规如何作出三角形？
答案
解：
问题1
作一个角等于已知角的一般步骤：
1. 已知$∠ AOB$，作射线$O'A'$；
2. 以点$O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$OA$于点$C$，交$OB$于点$D$；
3. 以点$O'$为圆心，$OC$的长为半径画弧，交$O'A'$于点$C'$；
4. 以点$C'$为圆心，$CD$的长为半径画弧，交步骤3中所画的弧于点$D'$；
5. 过点$O'$和点$D'$作射线$O'B'$，则$∠ A'O'B'$即为所求作的角。
依据：三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等。
问题2
1. 已知两边及其夹角作三角形的步骤：
① 作线段，使它的长度等于两条已知边中的第一条边；
② 以这条线段的一个端点为顶点，作一个角等于已知的夹角；
③ 在所作角的另一边上截取线段，使它的长度等于第二条已知边；
④ 连接两条已知边的游离端点，得到的三角形就是所求作的三角形。
2. 已知两角及其夹边作三角形的步骤：
① 作线段，使它的长度等于已知的夹边；
② 以这条线段的其中一个端点为顶点，在夹边的同侧作第一个角，使它等于已知的第一个角；
③ 以这条线段的另一个端点为顶点，在夹边的同侧作第二个角，使它等于已知的第二个角，两个角的非夹边交于一点；
④ 由上述三个点构成的三角形就是所求作的三角形。
问题1
作一个角等于已知角的一般步骤：
1. 已知$∠ AOB$，作射线$O'A'$；
2. 以点$O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$OA$于点$C$，交$OB$于点$D$；
3. 以点$O'$为圆心，$OC$的长为半径画弧，交$O'A'$于点$C'$；
4. 以点$C'$为圆心，$CD$的长为半径画弧，交步骤3中所画的弧于点$D'$；
5. 过点$O'$和点$D'$作射线$O'B'$，则$∠ A'O'B'$即为所求作的角。
依据：三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等。
问题2
1. 已知两边及其夹角作三角形的步骤：
① 作线段，使它的长度等于两条已知边中的第一条边；
② 以这条线段的一个端点为顶点，作一个角等于已知的夹角；
③ 在所作角的另一边上截取线段，使它的长度等于第二条已知边；
④ 连接两条已知边的游离端点，得到的三角形就是所求作的三角形。
2. 已知两角及其夹边作三角形的步骤：
① 作线段，使它的长度等于已知的夹边；
② 以这条线段的其中一个端点为顶点，在夹边的同侧作第一个角，使它等于已知的第一个角；
③ 以这条线段的另一个端点为顶点，在夹边的同侧作第二个角，使它等于已知的第二个角，两个角的非夹边交于一点；
④ 由上述三个点构成的三角形就是所求作的三角形。
解析
【分析】
本题考查尺规作图的基础操作与原理，可按以下思路思考：
1. 问题1：作一个角等于已知角的核心是构造全等三角形，通过圆规截取等长线段得到三边对应相等的两个三角形，再利用全等三角形对应角相等得到相等的角，按照先作起始射线、再分步画弧确定角的另一条边的位置、最后作射线得到所求角的顺序梳理步骤即可。
2. 问题2：作三角形的本质是确定三角形的三个顶点：已知两边及其夹角时，先作一条已知边确定两个顶点，再作已知夹角、截取第二条已知边确定第三个顶点，连接后即可得到三角形；已知两角及其夹边时，先作已知夹边确定两个顶点，再在夹边同侧分别作两个已知角，两个角的边的交点就是第三个顶点，即可得到所求三角形。
【解析】
问题1
作一个角等于已知角的一般步骤：
1. 已知$∠ AOB$，作射线$O'A'$；
2. 以点$O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$OA$于点$C$，交$OB$于点$D$；
3. 以点$O'$为圆心，$OC$的长为半径画弧，交$O'A'$于点$C'$；
4. 以点$C'$为圆心，$CD$的长为半径画弧，交步骤3中所画的弧于点$D'$；
5. 过点$O'$和点$D'$作射线$O'B'$，则$∠ A'O'B'$即为所求作的角。
作图依据：
三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等。
---
问题2
1. 已知两边及其夹角作三角形的步骤：
① 作线段，使它的长度等于两条已知边中的第一条边；
② 以这条线段的一个端点为顶点，作一个角等于已知的夹角；
③ 在所作角的另一边上截取线段，使它的长度等于第二条已知边；
④ 连接两条已知边的游离端点，得到的三角形就是所求作的三角形。
2. 已知两角及其夹边作三角形的步骤：
① 作线段，使它的长度等于已知的夹边；
② 以这条线段的其中一个端点为顶点，在夹边的同侧作第一个角，使它等于已知的第一个角；
③ 以这条线段的另一个端点为顶点，在夹边的同侧作第二个角，使它等于已知的第二个角，两个角的非夹边交于一点；
④ 由上述三个点构成的三角形就是所求作的三角形。
【答案】
问题1
作一个角等于已知角的一般步骤：
1. 已知$∠ AOB$，作射线$O'A'$；
2. 以点$O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$OA$于点$C$，交$OB$于点$D$；
3. 以点$O'$为圆心，$OC$的长为半径画弧，交$O'A'$于点$C'$；
4. 以点$C'$为圆心，$CD$的长为半径画弧，交步骤3中所画的弧于点$D'$；
5. 过点$O'$和点$D'$作射线$O'B'$，则$∠ A'O'B'$即为所求作的角。
依据：三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等。
问题2
1. 已知两边及其夹角作三角形的步骤：
① 作线段，使它的长度等于两条已知边中的第一条边；
② 以这条线段的一个端点为顶点，作一个角等于已知的夹角；
③ 在所作角的另一边上截取线段，使它的长度等于第二条已知边；
④ 连接两条已知边的游离端点，得到的三角形就是所求作的三角形。
2. 已知两角及其夹边作三角形的步骤：
① 作线段，使它的长度等于已知的夹边；
② 以这条线段的其中一个端点为顶点，在夹边的同侧作第一个角，使它等于已知的第一个角；
③ 以这条线段的另一个端点为顶点，在夹边的同侧作第二个角，使它等于已知的第二个角，两个角的非夹边交于一点；
④ 由上述三个点构成的三角形就是所求作的三角形。
【知识点】
1. 尺规作一个角等于已知角
2. 三角形尺规作图
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于尺规作图的基础考查题，涉及的作图方法是复杂几何作图的基础，需要牢记作图步骤，理解作图的原理，能熟练根据已知条件完成对应几何图形的作图。
【难度系数】
0.8
本题考查尺规作图的基础操作与原理，可按以下思路思考：
1. 问题1：作一个角等于已知角的核心是构造全等三角形，通过圆规截取等长线段得到三边对应相等的两个三角形，再利用全等三角形对应角相等得到相等的角，按照先作起始射线、再分步画弧确定角的另一条边的位置、最后作射线得到所求角的顺序梳理步骤即可。
2. 问题2：作三角形的本质是确定三角形的三个顶点：已知两边及其夹角时，先作一条已知边确定两个顶点，再作已知夹角、截取第二条已知边确定第三个顶点，连接后即可得到三角形；已知两角及其夹边时，先作已知夹边确定两个顶点，再在夹边同侧分别作两个已知角，两个角的边的交点就是第三个顶点，即可得到所求三角形。
【解析】
问题1
作一个角等于已知角的一般步骤：
1. 已知$∠ AOB$，作射线$O'A'$；
2. 以点$O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$OA$于点$C$，交$OB$于点$D$；
3. 以点$O'$为圆心，$OC$的长为半径画弧，交$O'A'$于点$C'$；
4. 以点$C'$为圆心，$CD$的长为半径画弧，交步骤3中所画的弧于点$D'$；
5. 过点$O'$和点$D'$作射线$O'B'$，则$∠ A'O'B'$即为所求作的角。
作图依据：
三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等。
---
问题2
1. 已知两边及其夹角作三角形的步骤：
① 作线段，使它的长度等于两条已知边中的第一条边；
② 以这条线段的一个端点为顶点，作一个角等于已知的夹角；
③ 在所作角的另一边上截取线段，使它的长度等于第二条已知边；
④ 连接两条已知边的游离端点，得到的三角形就是所求作的三角形。
2. 已知两角及其夹边作三角形的步骤：
① 作线段，使它的长度等于已知的夹边；
② 以这条线段的其中一个端点为顶点，在夹边的同侧作第一个角，使它等于已知的第一个角；
③ 以这条线段的另一个端点为顶点，在夹边的同侧作第二个角，使它等于已知的第二个角，两个角的非夹边交于一点；
④ 由上述三个点构成的三角形就是所求作的三角形。
【答案】
问题1
作一个角等于已知角的一般步骤：
1. 已知$∠ AOB$，作射线$O'A'$；
2. 以点$O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$OA$于点$C$，交$OB$于点$D$；
3. 以点$O'$为圆心，$OC$的长为半径画弧，交$O'A'$于点$C'$；
4. 以点$C'$为圆心，$CD$的长为半径画弧，交步骤3中所画的弧于点$D'$；
5. 过点$O'$和点$D'$作射线$O'B'$，则$∠ A'O'B'$即为所求作的角。
依据：三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等。
问题2
1. 已知两边及其夹角作三角形的步骤：
① 作线段，使它的长度等于两条已知边中的第一条边；
② 以这条线段的一个端点为顶点，作一个角等于已知的夹角；
③ 在所作角的另一边上截取线段，使它的长度等于第二条已知边；
④ 连接两条已知边的游离端点，得到的三角形就是所求作的三角形。
2. 已知两角及其夹边作三角形的步骤：
① 作线段，使它的长度等于已知的夹边；
② 以这条线段的其中一个端点为顶点，在夹边的同侧作第一个角，使它等于已知的第一个角；
③ 以这条线段的另一个端点为顶点，在夹边的同侧作第二个角，使它等于已知的第二个角，两个角的非夹边交于一点；
④ 由上述三个点构成的三角形就是所求作的三角形。
【知识点】
1. 尺规作一个角等于已知角
2. 三角形尺规作图
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于尺规作图的基础考查题，涉及的作图方法是复杂几何作图的基础，需要牢记作图步骤，理解作图的原理，能熟练根据已知条件完成对应几何图形的作图。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】如图，已知$∠ α$，$∠ β$，求作$∠ AOB$，使$∠ AOB=∠ α +∠ β$。
思路导引 先作一个角等于$∠ α$，再在$∠ α$外作一个角等于$∠ β$，且这两个角共顶点，共一边。
【解】(1)如题图，分别以点$E$，$P$为圆心，适当长为半径画弧，交$∠ α$的两边于点$F$，$G$，交$∠ β$的两边于点$M$，$N$；
(2)如图，作射线$OA$，以点$O$为圆心，$EF$为半径画弧$KL$，交射线$OA$于点$C$；
(3)以点$C$为圆心，$GF$为半径画弧，交弧$KL$于点$H$，再以点$H$为圆心，$MN$为半径画弧，交弧$KL$于点$Q$；
(4)分别过点$Q$，$H$作射线$OB$，$OH$，则$∠ AOH = ∠ α$，$∠ BOH = ∠ β$，所以$∠ AOB=∠ α +∠ β$。
规律方法 作两角之和时，另两边在公共边的异侧；作两角之差时，另两边在公共边的同侧。
思路导引 先作一个角等于$∠ α$，再在$∠ α$外作一个角等于$∠ β$，且这两个角共顶点，共一边。
【解】(1)如题图，分别以点$E$，$P$为圆心，适当长为半径画弧，交$∠ α$的两边于点$F$，$G$，交$∠ β$的两边于点$M$，$N$；
(2)如图，作射线$OA$，以点$O$为圆心，$EF$为半径画弧$KL$，交射线$OA$于点$C$；
(3)以点$C$为圆心，$GF$为半径画弧，交弧$KL$于点$H$，再以点$H$为圆心，$MN$为半径画弧，交弧$KL$于点$Q$；
(4)分别过点$Q$，$H$作射线$OB$，$OH$，则$∠ AOH = ∠ α$，$∠ BOH = ∠ β$，所以$∠ AOB=∠ α +∠ β$。
规律方法 作两角之和时，另两边在公共边的异侧；作两角之差时，另两边在公共边的同侧。
答案
解：
作法：
(1) 分别以点$E$，$P$为圆心，适当等长为半径画弧，交$∠ α$的两边于点$F$，$G$，交$∠ β$的两边于点$M$，$N$；
(2) 作射线$OA$，以点$O$为圆心，$EF$的长为半径画弧$KL$，交射线$OA$于点$C$；
(3) 以点$C$为圆心，$GF$的长为半径画弧，交弧$KL$于点$H$，再以点$H$为圆心，$MN$的长为半径画弧，交弧$KL$于点$Q$；
(4) 分别过点$H$作射线$OH$，过点$Q$作射线$OB$。
则$∠ AOH = ∠ α$，$∠ BOH = ∠ β$，因此$∠ AOB = ∠ α + ∠ β$，$∠ AOB$即为所求作的角。
作法：
(1) 分别以点$E$，$P$为圆心，适当等长为半径画弧，交$∠ α$的两边于点$F$，$G$，交$∠ β$的两边于点$M$，$N$；
(2) 作射线$OA$，以点$O$为圆心，$EF$的长为半径画弧$KL$，交射线$OA$于点$C$；
(3) 以点$C$为圆心，$GF$的长为半径画弧，交弧$KL$于点$H$，再以点$H$为圆心，$MN$的长为半径画弧，交弧$KL$于点$Q$；
(4) 分别过点$H$作射线$OH$，过点$Q$作射线$OB$。
则$∠ AOH = ∠ α$，$∠ BOH = ∠ β$，因此$∠ AOB = ∠ α + ∠ β$，$∠ AOB$即为所求作的角。
解析
【分析】
本题是利用尺规作两个已知角的和，解题核心是掌握“作一个角等于已知角”的基本作图方法。思考路径如下：①首先明确两角和的几何意义：两个角共顶点、共一条边，且另两条边在公共边的异侧，此时大角的度数等于两个小角度数之和；②先按照作一个角等于已知角的步骤，作出与∠α相等的∠AOH；③再以OH为公共边，在∠AOH的外侧作与∠β相等的∠HOB，即可得到∠AOB=∠α+∠β。作图时要注意截取半径的长度要对应相等，保证所作角的大小准确。
【解析】
我们依据“作一个角等于已知角”的尺规作图方法分步操作：
1. 先确定已知角的对应弦长：分别以∠α顶点E、∠β顶点P为圆心，取相同的适当长度为半径画弧，得到∠α上的弦FG、∠β上的弦MN，两条弦的长度分别对应两个角的大小；
2. 确定新作角的一条边：作射线OA作为∠AOB的其中一条边，以O为圆心，刚才画弧的相同半径（即EF长）画弧，交OA于点C；
3. 依次作出两个等角：先以C为圆心、FG长为半径画弧，与之前的弧交于H，作射线OH，此时∠AOH=∠α；再以H为圆心、MN长为半径画弧，在∠AOH的外侧与弧交于Q；
4. 完成作图：作射线OB过Q，此时∠HOB=∠β，两角相加得到的∠AOB就是所求的角。
【答案】
解：
作法：
(1) 分别以点$E$，$P$为圆心，适当等长为半径画弧，交$∠ α$的两边于点$F$，$G$，交$∠ β$的两边于点$M$，$N$；
(2) 作射线$OA$，以点$O$为圆心，$EF$的长为半径画弧$KL$，交射线$OA$于点$C$；
(3) 以点$C$为圆心，$GF$的长为半径画弧，交弧$KL$于点$H$，再以点$H$为圆心，$MN$的长为半径画弧，交弧$KL$于点$Q$；
(4) 分别过点$H$作射线$OH$，过点$Q$作射线$OB$。
则$∠ AOH = ∠ α$，$∠ BOH = ∠ β$，因此$∠ AOB = ∠ α + ∠ β$，$∠ AOB$即为所求作的角。
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作图；角的和差作图
【点评】
本题属于尺规作图的基础题型，主要考查作一个角等于已知角的操作步骤，解题的关键是明确作两角和时，第二个角要落在第一个角的外侧，若落在内侧则得到的是两角的差，熟练掌握基本作图方法即可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
本题是利用尺规作两个已知角的和，解题核心是掌握“作一个角等于已知角”的基本作图方法。思考路径如下：①首先明确两角和的几何意义：两个角共顶点、共一条边，且另两条边在公共边的异侧，此时大角的度数等于两个小角度数之和；②先按照作一个角等于已知角的步骤，作出与∠α相等的∠AOH；③再以OH为公共边，在∠AOH的外侧作与∠β相等的∠HOB，即可得到∠AOB=∠α+∠β。作图时要注意截取半径的长度要对应相等，保证所作角的大小准确。
【解析】
我们依据“作一个角等于已知角”的尺规作图方法分步操作：
1. 先确定已知角的对应弦长：分别以∠α顶点E、∠β顶点P为圆心，取相同的适当长度为半径画弧，得到∠α上的弦FG、∠β上的弦MN，两条弦的长度分别对应两个角的大小；
2. 确定新作角的一条边：作射线OA作为∠AOB的其中一条边，以O为圆心，刚才画弧的相同半径（即EF长）画弧，交OA于点C；
3. 依次作出两个等角：先以C为圆心、FG长为半径画弧，与之前的弧交于H，作射线OH，此时∠AOH=∠α；再以H为圆心、MN长为半径画弧，在∠AOH的外侧与弧交于Q；
4. 完成作图：作射线OB过Q，此时∠HOB=∠β，两角相加得到的∠AOB就是所求的角。
【答案】
解：
作法：
(1) 分别以点$E$，$P$为圆心，适当等长为半径画弧，交$∠ α$的两边于点$F$，$G$，交$∠ β$的两边于点$M$，$N$；
(2) 作射线$OA$，以点$O$为圆心，$EF$的长为半径画弧$KL$，交射线$OA$于点$C$；
(3) 以点$C$为圆心，$GF$的长为半径画弧，交弧$KL$于点$H$，再以点$H$为圆心，$MN$的长为半径画弧，交弧$KL$于点$Q$；
(4) 分别过点$H$作射线$OH$，过点$Q$作射线$OB$。
则$∠ AOH = ∠ α$，$∠ BOH = ∠ β$，因此$∠ AOB = ∠ α + ∠ β$，$∠ AOB$即为所求作的角。
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作图；角的和差作图
【点评】
本题属于尺规作图的基础题型，主要考查作一个角等于已知角的操作步骤，解题的关键是明确作两角和时，第二个角要落在第一个角的外侧，若落在内侧则得到的是两角的差，熟练掌握基本作图方法即可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
