5.【例3】(人教九上$\mathrm{P}_{126}$例2改编)如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$, $∠ ACB = 60°$. 求证: $∠ AOB = ∠ BOC = ∠ AOC$.

证明:$\because \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC},\therefore AB = BC.$
又$∠ ACB = 60°,\therefore △ ABC$ 为等边三角形.
$\therefore AB = BC = AC. \therefore ∠ AOB = ∠ BOC = ∠ AOC.$

【分析】
要证明三个圆心角相等，根据同圆中圆心角、弧、弦的对应关系，只需证明三个圆心角所对的弦相等即可。首先利用已知的$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$，结合同圆中等弧对等弦的性质可得$AB=BC$；再结合$∠ ACB=60°$，可判定$△ ABC$为等边三角形，得到三条边相等；最后根据同圆中等弦对等圆心角的性质，即可推出三个圆心角相等。
【解析】
证明:$\because \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC},\therefore AB = BC.$
又$∠ ACB = 60°,\therefore △ ABC$ 为等边三角形.
$\therefore AB = BC = AC. \therefore ∠ AOB = ∠ BOC = ∠ AOC.$
【答案】
证明:$\because \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC},\therefore AB = BC.$
又$∠ ACB = 60°,\therefore △ ABC$ 为等边三角形.
$\therefore AB = BC = AC. \therefore ∠ AOB = ∠ BOC = ∠ AOC.$
【知识点】
1.弧、弦、圆心角的关系
2.等边三角形的判定
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，核心是掌握同圆中弧、弦、圆心角三者的等量转换规则，结合等边三角形的判定即可快速求解，熟练掌握三者的对应关系是解决同类问题的基础。
【难度系数】
0.8

6. 如图，点D，E分别是半径OA，OB的中点，CD=CE. 求证：$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$。

证明:如图,连接 OC.
∵ 点 D, E 分别是半径 OA, OB 的中点,
$\therefore OD = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}OB = OE.$
$\because CD = CE,OC = OC,$
$\therefore △ OCD≌ △ OCE(\mathrm{SSS}).$
$\therefore ∠ DOC = ∠ EOC. \therefore \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}.$

【分析】
要证明弧相等，根据圆的基本性质：同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此只需证明$\overset{\frown}{AC}$和$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠AOC=∠BOC$即可。首先我们添加辅助线连接$OC$，构造出$△ OCD$和$△ OCE$：已知$D、E$是半径$OA、OB$的中点，结合同圆半径相等的性质可得$OD=OE$，再结合已知$CD=CE$、公共边$OC=OC$，即可通过SSS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到两个圆心角相等，最终推导出弧相等。
【解析】
证明：如图，连接$OC$。
∵点$D$，$E$分别是半径$OA$，$OB$的中点，
∴$OD = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}OB = OE$。
又
∵$CD = CE$，$OC = OC$，
∴$△ OCD≌△ OCE(\mathrm{SSS})$。
∴$∠DOC = ∠EOC$，
在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$。
【答案】
证明:如图,连接 OC.
∵ 点 D, E 分别是半径 OA, OB 的中点,
$\therefore OD = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}OB = OE.$
$\because CD = CE,OC = OC,$
$\therefore △ OCD≌ △ OCE(\mathrm{SSS}).$
$\therefore ∠ DOC = ∠ EOC. \therefore \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}.$

【知识点】
1.圆心角与弧的关系
2.全等三角形的判定与性质
3.圆的半径性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，将圆的基础性质和三角形全等的判定结合考查，解题的核心是通过连接辅助线构造全等三角形，把弧相等的证明转化为圆心角相等的证明，需要熟练掌握相关定理的转化逻辑。
【难度系数】
0.8

1. 下列各图中，$∠ ACB$ 是圆心角的是 （）

1. B

【分析】
要解决这道题，首先要明确圆心角的定义，抓住圆心角的核心特征：顶点必须在圆心，且角的两条边都与圆相交。接下来我们逐一判断每个选项中∠ACB是否满足这两个特征，就能快速得出答案。
【解析】
首先回忆圆心角的定义：顶点在圆心，且两边都与圆相交的角叫做圆心角。我们逐个分析选项：
1. 选项A：∠ACB的顶点C在圆上，不满足“顶点在圆心”的要求，不是圆心角；
2. 选项B：∠ACB的顶点C在圆心，且两条边CA、CB分别与圆交于A、B两点，完全符合圆心角的定义，是圆心角；
3. 选项C：∠ACB的顶点C在圆外，不满足“顶点在圆心”的要求，不是圆心角；
4. 选项D：∠ACB的顶点C在圆内但不是圆心位置，不满足“顶点在圆心”的要求，不是圆心角。
综上，只有选项B中的角是圆心角。
【答案】
B
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记圆心角的定义，抓住“顶点在圆心”这一核心特征就能快速判断，不容易出错。
【难度系数】
0.9

2.（人教九上$\mathrm{P}_{127}$练习$\mathrm{T}_{2}$改编）如图，AB是$\odot O$的直径，点E在$\odot O$上，点D，C是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点，$∠ COD=34°$，则$∠ AEO$的度数是（）

A.$51°$
B.$56°$
C.$68°$
D.$78°$

2. A

【分析】
解题时先从已知条件“D、C是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点”入手，根据同圆中相等的弧对应相等的圆心角，可得出$\overset{\frown}{BE}$对应的圆心角$∠ BOE$的度数；再结合AB是直径，$∠ AOE$与$∠ BOE$组成平角，算出$∠ AOE$的度数；最后利用圆的半径相等得到$△ AOE$是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等即可求出$∠ AEO$的度数。
【解析】
$\because$ 点D，C是$\overset{\frown}{BE}$的三等分点，
$\therefore$ $\overset{\frown}{ED}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$，
$\therefore$ $∠ EOD=∠ COD=∠ BOC=34°$，
$\therefore$ $∠ BOE=3∠ COD=3×34°=102°$，
$\because$ AB是$\odot O$的直径，
$\therefore$ $∠ AOE=180°-∠ BOE=180°-102°=78°$，
又$\because$ OA、OE都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OE$，
$\therefore$ $△ AOE$是等腰三角形，$∠ AEO=∠ OAE$，
$\therefore$ $∠ AEO=\frac{180°-∠ AOE}{2}=\frac{180°-78°}{2}=51°$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 等腰三角形的性质
3. 圆的基本性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是抓住弧的等分点与对应圆心角的等量关系，结合等腰三角形性质即可快速求解，要注意掌握圆中半径相等这一隐含条件的运用。
【难度系数】
0.7

3. 如图,已知点A,B,C,D是$\odot O$上的点,$∠ 1 = ∠ 2$,则下列结论:①$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$;②$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{AC}$;③$AC = BD$;④$∠ BOD = ∠ AOC$.其中正确的有.(填序号)

3. ①②③④

【分析】
解题时先回忆同圆中圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。首先从已知条件∠1=∠2出发，先判断这两个圆心角对应的弧，即可验证结论①；再通过角的和差，给两个相等的角同时加上公共角∠COB，得到新的相等圆心角∠BOD和∠AOC，验证结论④；再根据新的相等圆心角，分别对应弧和弦，即可验证结论②和③。
【解析】
1.
∵∠1=∠2，且∠1、∠2是$\odot O$的圆心角，分别对应$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{AB}$，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，故①正确；
2.
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠COB=∠2+∠COB，即∠BOD=∠AOC，故④正确；
3.
∵∠BOD=∠AOC，两个角是$\odot O$的圆心角，分别对应$\overset{\frown}{BD}$、$\overset{\frown}{AC}$，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，故②正确；
4.
∵∠BOD=∠AOC，根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可得$AC=BD$，故③正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 角的和差运算
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，核心是利用同圆中圆心角、弧、弦三者的对应相等关系，结合简单的角的和差推导即可得出所有结论，熟练掌握三者的对应关系是解题关键。
【难度系数】
0.8

4. 如图，BC是$\odot O$的直径，$BD=DE=EC$. 求证：$△ ABC$是等边三角形.

证明:如图,连接$OD,OE$.
$\because BD = DE = EC,\therefore \overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{DE} = \overset{\frown}{EC}.$
$\therefore ∠ BOD = ∠ DOE = ∠ EOC = \frac{1}{3} × 180° = 60°.$
$\because OB = OD = OE = OC,$
$\therefore △ OBD, △ ODE, △ OEC$ 均为等边三角形.
$\therefore ∠ B = ∠ C = 60°.\therefore ∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 60°.$
$\therefore △ ABC$ 是等边三角形.

【分析】
要证明△ABC是等边三角形，可通过证明三个内角均为60°入手。首先结合已知条件：BC是⊙O的直径，且弦BD=DE=EC，根据同圆中相等的弦对应相等的弧、相等的弧对应相等的圆心角的性质，先连接OD、OE构造圆心角；由BC是直径可得∠BOC=180°，结合三段弧相等可求出每个圆心角为60°；再结合半径相等的性质，可证得△OBD、△OEC都是等边三角形，进而求出∠B、∠C的度数，最后利用三角形内角和求出∠A的度数，即可完成证明。
【解析】
证明：连接OD、OE。
∵ BD = DE = EC，
∴ 同圆中相等的弦对应相等的弧，即$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{DE} = \overset{\frown}{EC}$，
∴ 相等的弧对应的圆心角相等，即∠BOD = ∠DOE = ∠EOC，
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BOC = 180°，
∴ $∠ BOD = ∠ DOE = ∠ EOC = \frac{1}{3}×180°=60°$，
又
∵ OB=OD=OE=OC（均为⊙O的半径），
∴ △OBD、△ODE、△OEC都是含60°角的等腰三角形，即均为等边三角形，
∴ ∠B=60°，∠C=60°，
在△ABC中，$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 60° - 60° = 60°$，
∴ △ABC的三个内角均为60°，故△ABC是等边三角形。
【答案】
证明:如图,连接$OD,OE$.
$\because BD = DE = EC,\therefore \overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{DE} = \overset{\frown}{EC}.$
$\therefore ∠ BOD = ∠ DOE = ∠ EOC = \frac{1}{3} × 180° = 60°.$
$\because OB = OD = OE = OC,$
$\therefore △ OBD, △ ODE, △ OEC$ 均为等边三角形.
$\therefore ∠ B = ∠ C = 60°.\therefore ∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 60°.$
$\therefore △ ABC$ 是等边三角形.
【知识点】
弦弧圆心角的关系、等边三角形判定、三角形内角和
【点评】
本题是圆的性质与特殊三角形判定的综合基础题，解题的核心是通过添加辅助线构造圆心角，将弦相等的条件转化为角的度数条件，进而完成证明，熟练掌握圆的基本性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.7