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7. 在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ CA = CB $，过点 $ A $ 作 $ △ ABC $ 的高 $ AD $. 若 $ ∠ ACD = 30° $，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（）.
A.$ 2:5 $ 或 $ 10:1 $
B.$ 1:10 $
C.$ 5:2 $
D.$ 5:2 $ 或 $ 1:10 $
A.$ 2:5 $ 或 $ 10:1 $
B.$ 1:10 $
C.$ 5:2 $
D.$ 5:2 $ 或 $ 1:10 $
答案
D
解析
【分析】
首先明确等腰三角形$CA=CB$，因此顶角为$∠ ACB$，底角为$∠ CAB$和$∠ CBA$。已知$AD$是$△ ABC$的高，需注意三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此要分两种情况讨论：①高$AD$在$△ ABC$内部，此时$∠ ACD$就是顶角$∠ ACB$；②高$AD$在$△ ABC$外部，此时$∠ ACD$是顶角的邻补角。结合三角形内角和定理分别计算两种情况下的顶角和底角度数，再求比值即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高$AD$在$△ ABC$内部时：
$∠ ACB=∠ ACD=30°$，即顶角为$30°$。
根据等腰三角形两底角相等，底角$∠ CAB=∠ CBA=(180°-∠ ACB)÷2=(180°-30°)÷2=75°$。
此时底角与顶角的度数比为$75°:30°=5:2$。
2. 当高$AD$在$△ ABC$外部时：
此时点$D$在$BC$的延长线上，$∠ ACD=30°$，因此顶角$∠ ACB=180°-30°=150°$。
底角$∠ CAB=∠ CBA=(180°-∠ ACB)÷2=(180°-150°)÷2=15°$。
此时底角与顶角的度数比为$15°:150°=1:10$。
综上，这个三角形的底角与顶角的度数比为$5:2$或$1:10$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形高的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形的性质应用，易错点是忽略高可能在三角形外部的情况，解题时需结合等腰三角形顶角的锐角、钝角两种情况分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先明确等腰三角形$CA=CB$，因此顶角为$∠ ACB$，底角为$∠ CAB$和$∠ CBA$。已知$AD$是$△ ABC$的高，需注意三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此要分两种情况讨论：①高$AD$在$△ ABC$内部，此时$∠ ACD$就是顶角$∠ ACB$；②高$AD$在$△ ABC$外部，此时$∠ ACD$是顶角的邻补角。结合三角形内角和定理分别计算两种情况下的顶角和底角度数，再求比值即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高$AD$在$△ ABC$内部时：
$∠ ACB=∠ ACD=30°$，即顶角为$30°$。
根据等腰三角形两底角相等，底角$∠ CAB=∠ CBA=(180°-∠ ACB)÷2=(180°-30°)÷2=75°$。
此时底角与顶角的度数比为$75°:30°=5:2$。
2. 当高$AD$在$△ ABC$外部时：
此时点$D$在$BC$的延长线上，$∠ ACD=30°$，因此顶角$∠ ACB=180°-30°=150°$。
底角$∠ CAB=∠ CBA=(180°-∠ ACB)÷2=(180°-150°)÷2=15°$。
此时底角与顶角的度数比为$15°:150°=1:10$。
综上，这个三角形的底角与顶角的度数比为$5:2$或$1:10$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形高的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形的性质应用，易错点是忽略高可能在三角形外部的情况，解题时需结合等腰三角形顶角的锐角、钝角两种情况分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在△ABC中,以点B为圆心,BA长为半径作弧交边BC于点D,连接AD,∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的度数是.
答案
$\boldsymbol{34°}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用三角形内角和定理，计算出△ABC中∠BAC的度数；第二步，根据作图方法可知BA=BD，即△ABD为等腰三角形，结合等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和定理，求出∠BAD的度数；第三步，利用角度的和差关系，用∠BAC减去∠BAD即可得到∠DAC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 36° = 104°
由作图可知，BA=BD，因此△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA。
在△ABD中：
∠BAD = (180° - ∠B) ÷ 2 = (180° - 40°) ÷ 2 = 70°
因此∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 104° - 70° = 34°
【答案】
34°
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是通过作图特征识别出等腰三角形，再结合三角形内角和定理与角度和差关系求解，考查对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先利用三角形内角和定理，计算出△ABC中∠BAC的度数；第二步，根据作图方法可知BA=BD，即△ABD为等腰三角形，结合等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和定理，求出∠BAD的度数；第三步，利用角度的和差关系，用∠BAC减去∠BAD即可得到∠DAC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 36° = 104°
由作图可知，BA=BD，因此△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA。
在△ABD中：
∠BAD = (180° - ∠B) ÷ 2 = (180° - 40°) ÷ 2 = 70°
因此∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 104° - 70° = 34°
【答案】
34°
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是通过作图特征识别出等腰三角形，再结合三角形内角和定理与角度和差关系求解，考查对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
9.一个等腰三角形的三边长分别为$2x-1$，$x+1$，$3x-2$，该等腰三角形的周长是.
答案
解：分三种情况讨论等腰三角形相等的两边：
1. 若$2x-1 = x+1$，
解得$x=2$。
此时三边长分别为$3$，$3$，$4$，满足三角形任意两边之和大于第三边，
周长为$3+3+4=10$。
2. 若$2x-1 = 3x-2$，
解得$x=1$。
此时三边长分别为$1$，$2$，$1$，因为$1+1=2$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去该情况。
3. 若$x+1 = 3x-2$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
此时三边长分别为$2$，$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$，满足三角形任意两边之和大于第三边，
周长为$2+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=7$。
综上，该等腰三角形的周长是7或10。
1. 若$2x-1 = x+1$，
解得$x=2$。
此时三边长分别为$3$，$3$，$4$，满足三角形任意两边之和大于第三边，
周长为$3+3+4=10$。
2. 若$2x-1 = 3x-2$，
解得$x=1$。
此时三边长分别为$1$，$2$，$1$，因为$1+1=2$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去该情况。
3. 若$x+1 = 3x-2$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
此时三边长分别为$2$，$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$，满足三角形任意两边之和大于第三边，
周长为$2+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=7$。
综上，该等腰三角形的周长是7或10。
解析
【分析】
等腰三角形的两腰长度相等，已知三边的代数式，因此需分三种情况讨论：分别令任意两边的代数式相等求出x的值，再将x代入得到三边的具体长度，之后根据三角形“任意两边之和大于第三边”的三边关系验证能否构成三角形，符合条件的再计算周长，不符合的情况直接舍去。
【解析】
分三种情况讨论等腰三角形的相等边：
1. 若$2x-1 = x+1$，
解得$x=2$。
此时三边长分别为$3$，$3$，$4$，满足三角形任意两边之和大于第三边，
周长为$3+3+4=10$。
2. 若$2x-1 = 3x-2$，
解得$x=1$。
此时三边长分别为$1$，$2$，$1$，因为$1+1=2$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去该情况。
3. 若$x+1 = 3x-2$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
此时三边长分别为$2$，$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$，满足三角形任意两边之和大于第三边，
周长为$2+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=7$。
综上，该等腰三角形的周长是7或10。
【答案】
7或10
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，易错点是求出边长后忽略验证三角形三边关系，导致出现不符合实际的增解，解题时要养成验证结果合理性的习惯。
【难度系数】
0.6
等腰三角形的两腰长度相等，已知三边的代数式，因此需分三种情况讨论：分别令任意两边的代数式相等求出x的值，再将x代入得到三边的具体长度，之后根据三角形“任意两边之和大于第三边”的三边关系验证能否构成三角形，符合条件的再计算周长，不符合的情况直接舍去。
【解析】
分三种情况讨论等腰三角形的相等边：
1. 若$2x-1 = x+1$，
解得$x=2$。
此时三边长分别为$3$，$3$，$4$，满足三角形任意两边之和大于第三边，
周长为$3+3+4=10$。
2. 若$2x-1 = 3x-2$，
解得$x=1$。
此时三边长分别为$1$，$2$，$1$，因为$1+1=2$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去该情况。
3. 若$x+1 = 3x-2$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
此时三边长分别为$2$，$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$，满足三角形任意两边之和大于第三边，
周长为$2+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=7$。
综上，该等腰三角形的周长是7或10。
【答案】
7或10
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，易错点是求出边长后忽略验证三角形三边关系，导致出现不符合实际的增解，解题时要养成验证结果合理性的习惯。
【难度系数】
0.6
10. 如图，$∠ AOB$是一建筑钢架，$∠ AOB=10°$，为了使钢架更加稳固，须在内部添加一些钢管$EF$，$FG$，$GH$，$HM$，…，添加的钢管的长度都与$OE$相等，则最多能添加这样的钢管根.
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
解题思路：首先根据添加的钢管长度都与OE相等，可知每新增一段钢管就会形成一个新的等腰三角形，我们可以利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角等于不相邻两内角和的规律，依次计算每个等腰三角形的底角度数；由于三角形内角和为180°，等腰三角形的底角必须小于90°，当底角≥90°时无法构成符合要求的等腰三角形，据此即可计算出最多能添加的钢管数量。
【解析】
已知$∠ AOB=10°$，$OE=EF$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ EFO=∠ EOF=10°$。
由三角形外角的性质，得$∠ GEF=∠ EOF+∠ EFO=20°$。
又$\because EF=FG$，$\therefore ∠ FGE=∠ GEF=20°$，同理可得$∠ GFH=∠ EOF+∠ OGF=10°+20°=30°$。
依此类推，每添加一根钢管，对应等腰三角形的底角度数增加$10°$，设添加第$k$根钢管时，对应等腰三角形的底角为$10k°$。
$\because$等腰三角形的两个底角之和需小于$180°$，即$10k°×2＜180°$，解得$k＜9$。
又$\because k$为正整数，$\therefore k$的最大值为8，即最多能添加8根这样的钢管。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于规律探究类几何题，解题核心是利用等腰三角形的性质和外角规律推导底角的变化规律，需注意三角形内角和的限制条件，避免忽略底角小于90°的要求导致多算。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先根据添加的钢管长度都与OE相等，可知每新增一段钢管就会形成一个新的等腰三角形，我们可以利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角等于不相邻两内角和的规律，依次计算每个等腰三角形的底角度数；由于三角形内角和为180°，等腰三角形的底角必须小于90°，当底角≥90°时无法构成符合要求的等腰三角形，据此即可计算出最多能添加的钢管数量。
【解析】
已知$∠ AOB=10°$，$OE=EF$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ EFO=∠ EOF=10°$。
由三角形外角的性质，得$∠ GEF=∠ EOF+∠ EFO=20°$。
又$\because EF=FG$，$\therefore ∠ FGE=∠ GEF=20°$，同理可得$∠ GFH=∠ EOF+∠ OGF=10°+20°=30°$。
依此类推，每添加一根钢管，对应等腰三角形的底角度数增加$10°$，设添加第$k$根钢管时，对应等腰三角形的底角为$10k°$。
$\because$等腰三角形的两个底角之和需小于$180°$，即$10k°×2＜180°$，解得$k＜9$。
又$\because k$为正整数，$\therefore k$的最大值为8，即最多能添加8根这样的钢管。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于规律探究类几何题，解题核心是利用等腰三角形的性质和外角规律推导底角的变化规律，需注意三角形内角和的限制条件，避免忽略底角小于90°的要求导致多算。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$在$BC$上,且$BD=AD$,$DC=AC$,求$∠ C$的度数. 
答案
解：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$（等边对等角）。
∵ $BD=AD$，
∴ $∠ BAD = ∠ B$，
∴ $∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = 2∠ B = 2∠ C$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵ $DC=AC$，
∴ $∠ CAD = ∠ ADC = 2∠ C$（等边对等角）。
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
又$\because ∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = ∠ C + 2∠ C = 3∠ C$，
代入得：$3∠ C + ∠ C + ∠ C = 180°$，
即$5∠ C = 180°$，
解得$∠ C = 36°$。
答：$∠ C$的度数为$36°$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$（等边对等角）。
∵ $BD=AD$，
∴ $∠ BAD = ∠ B$，
∴ $∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = 2∠ B = 2∠ C$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵ $DC=AC$，
∴ $∠ CAD = ∠ ADC = 2∠ C$（等边对等角）。
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
又$\because ∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = ∠ C + 2∠ C = 3∠ C$，
代入得：$3∠ C + ∠ C + ∠ C = 180°$，
即$5∠ C = 180°$，
解得$∠ C = 36°$。
答：$∠ C$的度数为$36°$。
解析
【分析】
首先观察题目给出多组边相等的条件，可联想到等腰三角形“等边对等角”的性质，我们可以将∠C设为基础未知角，逐步推导其他角与∠C的数量关系：第一步由AB=AC得∠B=∠C；第二步由BD=AD得∠BAD=∠B，再结合三角形外角性质可得∠ADC=2∠C；第三步由DC=AC得∠CAD=∠ADC=2∠C，进而得到∠BAC的表达式；最后利用三角形内角和为180°列方程，即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$（等边对等角）。
∵ $BD=AD$，
∴ $∠ BAD = ∠ B$，
∴ $∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = 2∠ B = 2∠ C$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵ $DC=AC$，
∴ $∠ CAD = ∠ ADC = 2∠ C$（等边对等角）。
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
又$\because ∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = ∠ C + 2∠ C = 3∠ C$，
代入得：$3∠ C + ∠ C + ∠ C = 180°$，
即$5∠ C = 180°$，
解得$∠ C = 36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础综合应用题，解题核心是利用“等边对等角”实现边角关系的转化，将所有内角用同一个未知角表示，再结合三角形内角和定理列方程求解，掌握等量代换的思路能快速解决这类角度计算问题。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出多组边相等的条件，可联想到等腰三角形“等边对等角”的性质，我们可以将∠C设为基础未知角，逐步推导其他角与∠C的数量关系：第一步由AB=AC得∠B=∠C；第二步由BD=AD得∠BAD=∠B，再结合三角形外角性质可得∠ADC=2∠C；第三步由DC=AC得∠CAD=∠ADC=2∠C，进而得到∠BAC的表达式；最后利用三角形内角和为180°列方程，即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$（等边对等角）。
∵ $BD=AD$，
∴ $∠ BAD = ∠ B$，
∴ $∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = 2∠ B = 2∠ C$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵ $DC=AC$，
∴ $∠ CAD = ∠ ADC = 2∠ C$（等边对等角）。
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
又$\because ∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = ∠ C + 2∠ C = 3∠ C$，
代入得：$3∠ C + ∠ C + ∠ C = 180°$，
即$5∠ C = 180°$，
解得$∠ C = 36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础综合应用题，解题核心是利用“等边对等角”实现边角关系的转化，将所有内角用同一个未知角表示，再结合三角形内角和定理列方程求解，掌握等量代换的思路能快速解决这类角度计算问题。
【难度系数】
0.7
12. (推理能力)在△ABC中，AB=AC.
(1)如图(1),若∠BAD=30°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC=.
(2)如图(2),若∠BAD=40°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC=.
(3)你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:.
(4)如图(3),如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有(3)中所述关系?若有,请说明理由.
(1)如图(1),若∠BAD=30°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC=.
(2)如图(2),若∠BAD=40°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC=.
(3)你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:.
(4)如图(3),如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有(3)中所述关系?若有,请说明理由.
答案
解：
(1) $15°$
(2) $20°$
(3) $∠ BAD=2∠ EDC$（或$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$）
(4) 仍有(3)中所述关系，理由如下：
$\because AD=AE$，
$\therefore ∠ ADE=∠ AED$。
$\because ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$（三角形外角的性质），
$∠ ADC=∠ ADE+∠ EDC$，
$\therefore ∠ B+∠ BAD=∠ ADE+∠ EDC$。
又$\because ∠ AED=∠ C+∠ EDC$（三角形外角的性质），
$\therefore ∠ ADE=∠ C+∠ EDC$。
代入得：$∠ B+∠ BAD=∠ C+∠ EDC+∠ EDC$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ C$。
$\therefore ∠ BAD=2∠ EDC$。
(1) $15°$
(2) $20°$
(3) $∠ BAD=2∠ EDC$（或$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$）
(4) 仍有(3)中所述关系，理由如下：
$\because AD=AE$，
$\therefore ∠ ADE=∠ AED$。
$\because ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$（三角形外角的性质），
$∠ ADC=∠ ADE+∠ EDC$，
$\therefore ∠ B+∠ BAD=∠ ADE+∠ EDC$。
又$\because ∠ AED=∠ C+∠ EDC$（三角形外角的性质），
$\therefore ∠ ADE=∠ C+∠ EDC$。
代入得：$∠ B+∠ BAD=∠ C+∠ EDC+∠ EDC$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ C$。
$\therefore ∠ BAD=2∠ EDC$。
解析
【分析】
本题围绕等腰三角形的角度关系展开探究，解题思路如下：
(1)(2)为特殊情形：首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到AD平分∠BAC且∠ADC=90°；再结合AD=AE，利用等腰三角形等边对等角和三角形内角和定理求出∠ADE的度数，最后用∠ADC减去∠ADE即可得到∠EDC的度数。
(3)为规律总结：对比(1)(2)中∠BAD和∠EDC的数值，直接归纳两者的数量关系即可。
(4)为一般情形验证：即使AD不是高，仍可利用三角形外角的性质分别表示∠ADC和∠AED，再结合AD=AE得∠ADE=∠AED、AB=AC得∠B=∠C，通过等量代换消去相等的角，即可推导出∠BAD和∠EDC的关系。
【解析】
(1)
∵AB=AC，AD是BC上的高，
∴AD平分∠BAC，∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠CAD)÷2=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠EDC=∠ADC - ∠ADE=90°-75°=15°。
(2) 同理，当∠BAD=40°时，∠CAD=40°，
∠ADE=(180°-40°)÷2=70°，
∴∠EDC=90°-70°=20°。
(3) 由(1)中30°对应15°、(2)中40°对应20°，可得∠BAD=2∠EDC（或$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$）。
(4) 仍有(3)中所述关系，理由如下：
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
又
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC ①，
∵∠AED是△DEC的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
又
∵∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=∠C+∠EDC ②，
将②代入①得：$∠ B+∠ BAD=∠ C+∠ EDC+∠ EDC$，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
等式两边同时减去∠B（即∠C），可得∠BAD=2∠EDC。
【答案】
(1) $15°$
(2) $20°$
(3) $∠ BAD=2∠ EDC$（或$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$）
(4) 仍有(3)中所述关系，理由见解析
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等量代换
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，考查几何性质的综合运用与推理归纳能力，解题核心是灵活利用角的和差关系与等腰三角形的等角性质进行代换推导。
【难度系数】
0.7
本题围绕等腰三角形的角度关系展开探究，解题思路如下：
(1)(2)为特殊情形：首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到AD平分∠BAC且∠ADC=90°；再结合AD=AE，利用等腰三角形等边对等角和三角形内角和定理求出∠ADE的度数，最后用∠ADC减去∠ADE即可得到∠EDC的度数。
(3)为规律总结：对比(1)(2)中∠BAD和∠EDC的数值，直接归纳两者的数量关系即可。
(4)为一般情形验证：即使AD不是高，仍可利用三角形外角的性质分别表示∠ADC和∠AED，再结合AD=AE得∠ADE=∠AED、AB=AC得∠B=∠C，通过等量代换消去相等的角，即可推导出∠BAD和∠EDC的关系。
【解析】
(1)
∵AB=AC，AD是BC上的高，
∴AD平分∠BAC，∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠CAD)÷2=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠EDC=∠ADC - ∠ADE=90°-75°=15°。
(2) 同理，当∠BAD=40°时，∠CAD=40°，
∠ADE=(180°-40°)÷2=70°，
∴∠EDC=90°-70°=20°。
(3) 由(1)中30°对应15°、(2)中40°对应20°，可得∠BAD=2∠EDC（或$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$）。
(4) 仍有(3)中所述关系，理由如下：
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
又
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC ①，
∵∠AED是△DEC的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
又
∵∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=∠C+∠EDC ②，
将②代入①得：$∠ B+∠ BAD=∠ C+∠ EDC+∠ EDC$，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
等式两边同时减去∠B（即∠C），可得∠BAD=2∠EDC。
【答案】
(1) $15°$
(2) $20°$
(3) $∠ BAD=2∠ EDC$（或$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$）
(4) 仍有(3)中所述关系，理由见解析
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等量代换
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，考查几何性质的综合运用与推理归纳能力，解题核心是灵活利用角的和差关系与等腰三角形的等角性质进行代换推导。
【难度系数】
0.7
