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9. 先化简，再求值：$\frac{x+1}{x} ÷ (x - \frac{1}{x})$，其中$x=3$。
答案
化简得$\frac{1}{x-1}$，当$x=3$时，原式=$\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路清晰明确：第一步先处理括号内的分式减法，将整式x通分转化为同分母分式，按照同分母分式减法法则计算括号内的结果；第二步将分式除法转化为乘法运算，同时对分子分母中可因式分解的部分分解因式，再约分得到最简分式；第三步将x=3代入最简分式，计算出最终数值即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+1}{x} ÷ ( \frac{x^2}{x} - \frac{1}{x} ) \\&=\frac{x+1}{x} ÷ \frac{x^2 - 1}{x} \\&=\frac{x+1}{x} ÷ \frac{(x+1)(x-1)}{x} \\&=\frac{x+1}{x} × \frac{x}{(x+1)(x-1)} \\&=\frac{1}{x-1}\end{aligned}$
当$x=3$时，
$原式=\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}$
【答案】
化简得$\frac{1}{x-1}$，当$x=3$时，原式的值为$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式运算的顺序、通分约分的方法以及平方差公式因式分解的应用，计算时需注意先算括号内的运算，除法转化为乘法时要正确写出除数的倒数，约分要彻底，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路清晰明确：第一步先处理括号内的分式减法，将整式x通分转化为同分母分式，按照同分母分式减法法则计算括号内的结果；第二步将分式除法转化为乘法运算，同时对分子分母中可因式分解的部分分解因式，再约分得到最简分式；第三步将x=3代入最简分式，计算出最终数值即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+1}{x} ÷ ( \frac{x^2}{x} - \frac{1}{x} ) \\&=\frac{x+1}{x} ÷ \frac{x^2 - 1}{x} \\&=\frac{x+1}{x} ÷ \frac{(x+1)(x-1)}{x} \\&=\frac{x+1}{x} × \frac{x}{(x+1)(x-1)} \\&=\frac{1}{x-1}\end{aligned}$
当$x=3$时，
$原式=\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}$
【答案】
化简得$\frac{1}{x-1}$，当$x=3$时，原式的值为$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式运算的顺序、通分约分的方法以及平方差公式因式分解的应用，计算时需注意先算括号内的运算，除法转化为乘法时要正确写出除数的倒数，约分要彻底，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
10. 先化简$(x+1-\dfrac{3}{x-1})÷\dfrac{x^2-4x+4}{x-1}$，再从0，1，2中选一个适当的数作为$x$的值代入求值。
答案
原式=$\frac{x+2}{x-2}$，
∴$x≠1$，$x≠2$.
∴当$x=0$时，原式=$-1$
∴$x≠1$，$x≠2$.
∴当$x=0$时，原式=$-1$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题可按三步展开：第一步先处理括号内的运算，将整式$x+1$通分转化为分母为$x-1$的分式，再与$\frac{3}{x-1}$做减法，合并分子；第二步将除法运算转化为乘法运算，对分子分母中的多项式因式分解后约分化简，得到最简结果；第三步根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不能取的$x$值，选择符合要求的$x$代入最简式计算结果。
【解析】
解：化简原式：
$\begin{aligned}&(x+1-\frac{3}{x-1})÷\frac{x^2-4x+4}{x-1}\\=&[\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}-\frac{3}{x-1}]×\frac{x-1}{x^2-4x+4}\\=&\frac{x^2-1-3}{x-1}×\frac{x-1}{(x-2)^2}\\=&\frac{x^2-4}{x-1}×\frac{x-1}{(x-2)^2}\\=&\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}×\frac{x-1}{(x-2)^2}\\=&\frac{x+2}{x-2}\end{aligned}$
若分式有意义，则分母和除数均不为0，即：
$x-1≠0$，$x^2-4x+4≠0$
解得$x≠1$，$x≠2$，因此只能选择$x=0$代入化简后的式子：
原式$=\frac{0+2}{0-2}=-1$
【答案】
原式化简结果为$\frac{x+2}{x-2}$，当$x=0$时，值为$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1.分式的混合运算
2.分式有意义的条件
3.因式分解
【点评】
本题属于分式化简求值的常规题型，重点考查分式运算的法则和分式有意义的隐含条件，解题时需注意所选的$x$必须保证原式中所有分母和除数都不为0，避免代入无意义的数值导致错误。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题可按三步展开：第一步先处理括号内的运算，将整式$x+1$通分转化为分母为$x-1$的分式，再与$\frac{3}{x-1}$做减法，合并分子；第二步将除法运算转化为乘法运算，对分子分母中的多项式因式分解后约分化简，得到最简结果；第三步根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不能取的$x$值，选择符合要求的$x$代入最简式计算结果。
【解析】
解：化简原式：
$\begin{aligned}&(x+1-\frac{3}{x-1})÷\frac{x^2-4x+4}{x-1}\\=&[\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}-\frac{3}{x-1}]×\frac{x-1}{x^2-4x+4}\\=&\frac{x^2-1-3}{x-1}×\frac{x-1}{(x-2)^2}\\=&\frac{x^2-4}{x-1}×\frac{x-1}{(x-2)^2}\\=&\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}×\frac{x-1}{(x-2)^2}\\=&\frac{x+2}{x-2}\end{aligned}$
若分式有意义，则分母和除数均不为0，即：
$x-1≠0$，$x^2-4x+4≠0$
解得$x≠1$，$x≠2$，因此只能选择$x=0$代入化简后的式子：
原式$=\frac{0+2}{0-2}=-1$
【答案】
原式化简结果为$\frac{x+2}{x-2}$，当$x=0$时，值为$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1.分式的混合运算
2.分式有意义的条件
3.因式分解
【点评】
本题属于分式化简求值的常规题型，重点考查分式运算的法则和分式有意义的隐含条件，解题时需注意所选的$x$必须保证原式中所有分母和除数都不为0，避免代入无意义的数值导致错误。
【难度系数】
0.7
11. 某苹果产地举办了苹果丰收节购买活动，小聪和小明在活动期间分别购买了两次苹果，两次的单价分别是 m 元/kg 和 n 元/kg（m≠n），小聪每次买 a 元钱的苹果，小明每次买 b kg 的苹果.
（1）当 a=10 时，小聪两次购买苹果的总质量为
（2）请你分析他们两次购买苹果的平均价格谁更低.（注：平均价格=$\frac{总价钱}{总质量}$）
（1）当 a=10 时，小聪两次购买苹果的总质量为
$(\frac{10}{m}+\frac{10}{n})$ kg
。（请用含 m，n 的式子表示）（2）请你分析他们两次购买苹果的平均价格谁更低.（注：平均价格=$\frac{总价钱}{总质量}$）
答案
11. （1）$(\frac{10}{m}+\frac{10}{n})$ kg
（2）
∵小聪两次购买的平均价格为$\frac{2a}{\frac{a}{m}+\frac{a}{n}}=\frac{2mn}{m+n}$，小明两次购买的平均价格为$\frac{bm+bn}{2b}=\frac{m+n}{2}$，
∴$\frac{2mn}{m+n}-\frac{m+n}{2}=\frac{4mn-(m+n)^2}{2(m+n)}=\frac{4mn-m^2-2mn-n^2}{2(m+n)}=\frac{-m^2+2mn-n^2}{2(m+n)}=\frac{-(m-n)^2}{2(m+n)}$.
∵$m＞0$，$n＞0$，$m≠n$，
∴$2(m+n)＞0$，$-(m-n)^2＜0$，
∴$\frac{-(m-n)^2}{2(m+n)}＜0$，
∴小聪两次购买苹果的平均价格更低
（2）
∵小聪两次购买的平均价格为$\frac{2a}{\frac{a}{m}+\frac{a}{n}}=\frac{2mn}{m+n}$，小明两次购买的平均价格为$\frac{bm+bn}{2b}=\frac{m+n}{2}$，
∴$\frac{2mn}{m+n}-\frac{m+n}{2}=\frac{4mn-(m+n)^2}{2(m+n)}=\frac{4mn-m^2-2mn-n^2}{2(m+n)}=\frac{-m^2+2mn-n^2}{2(m+n)}=\frac{-(m-n)^2}{2(m+n)}$.
∵$m＞0$，$n＞0$，$m≠n$，
∴$2(m+n)＞0$，$-(m-n)^2＜0$，
∴$\frac{-(m-n)^2}{2(m+n)}＜0$，
∴小聪两次购买苹果的平均价格更低
解析
【分析】
（1）根据“质量=总价÷单价”，分别求出小聪两次购买苹果的质量，相加即可得到总质量；
（2）要比较两人两次购买苹果的平均价格谁更低，首先根据平均价格的计算公式，分别求出小聪和小明的平均价格，再用作差法比较两个平均价格的大小：若差为负，则被减数更小；若差为正，则减数更小，结合m、n的取值范围判断差的正负即可得出结论。
【解析】
（1）当a=10时，小聪第一次购买苹果的质量为$\frac{10}{m}$kg，第二次购买苹果的质量为$\frac{10}{n}$kg，
因此两次购买的总质量为$\frac{10}{m}+\frac{10}{n}$kg。
（2）先计算两人的平均价格：
①小聪两次购买的总价钱为2a元，总质量为$\frac{a}{m}+\frac{a}{n}$kg，
因此平均价格为$\frac{2a}{\frac{a}{m}+\frac{a}{n}}=\frac{2a}{\frac{a(m+n)}{mn}}=\frac{2mn}{m+n}$；
②小明两次购买的总价钱为$(bm+bn)$元，总质量为2b kg，
因此平均价格为$\frac{bm+bn}{2b}=\frac{b(m+n)}{2b}=\frac{m+n}{2}$。
用作差法比较两个平均价格的大小：
$\frac{2mn}{m+n}-\frac{m+n}{2}=\frac{4mn-(m+n)^2}{2(m+n)}$
展开并化简分子：$4mn-(m^2+2mn+n^2)=4mn-m^2-2mn-n^2=-m^2+2mn-n^2=-(m-n)^2$，
即$\frac{2mn}{m+n}-\frac{m+n}{2}=\frac{-(m-n)^2}{2(m+n)}$。
由题意可知m＞0，n＞0，且m≠n，因此$2(m+n)＞0$，$(m-n)^2＞0$，则$-(m-n)^2＜0$，
所以$\frac{-(m-n)^2}{2(m+n)}＜0$，即$\frac{2mn}{m+n}＜\frac{m+n}{2}$，因此小聪的平均价格更低。
【答案】
（1）$(\frac{10}{m}+\frac{10}{n})$ kg
（2）小聪两次购买苹果的平均价格更低
【知识点】
分式的运算，作差法比较大小，代数式化简
【点评】
本题结合生活消费场景命题，既考查了分式化简、代数式大小比较的核心知识，又引导学生用数学知识解决实际生活中的最优选择问题，解题的关键是正确列出平均价格的代数式，再借助完全平方公式判断差的正负。
【难度系数】
0.6
（1）根据“质量=总价÷单价”，分别求出小聪两次购买苹果的质量，相加即可得到总质量；
（2）要比较两人两次购买苹果的平均价格谁更低，首先根据平均价格的计算公式，分别求出小聪和小明的平均价格，再用作差法比较两个平均价格的大小：若差为负，则被减数更小；若差为正，则减数更小，结合m、n的取值范围判断差的正负即可得出结论。
【解析】
（1）当a=10时，小聪第一次购买苹果的质量为$\frac{10}{m}$kg，第二次购买苹果的质量为$\frac{10}{n}$kg，
因此两次购买的总质量为$\frac{10}{m}+\frac{10}{n}$kg。
（2）先计算两人的平均价格：
①小聪两次购买的总价钱为2a元，总质量为$\frac{a}{m}+\frac{a}{n}$kg，
因此平均价格为$\frac{2a}{\frac{a}{m}+\frac{a}{n}}=\frac{2a}{\frac{a(m+n)}{mn}}=\frac{2mn}{m+n}$；
②小明两次购买的总价钱为$(bm+bn)$元，总质量为2b kg，
因此平均价格为$\frac{bm+bn}{2b}=\frac{b(m+n)}{2b}=\frac{m+n}{2}$。
用作差法比较两个平均价格的大小：
$\frac{2mn}{m+n}-\frac{m+n}{2}=\frac{4mn-(m+n)^2}{2(m+n)}$
展开并化简分子：$4mn-(m^2+2mn+n^2)=4mn-m^2-2mn-n^2=-m^2+2mn-n^2=-(m-n)^2$，
即$\frac{2mn}{m+n}-\frac{m+n}{2}=\frac{-(m-n)^2}{2(m+n)}$。
由题意可知m＞0，n＞0，且m≠n，因此$2(m+n)＞0$，$(m-n)^2＞0$，则$-(m-n)^2＜0$，
所以$\frac{-(m-n)^2}{2(m+n)}＜0$，即$\frac{2mn}{m+n}＜\frac{m+n}{2}$，因此小聪的平均价格更低。
【答案】
（1）$(\frac{10}{m}+\frac{10}{n})$ kg
（2）小聪两次购买苹果的平均价格更低
【知识点】
分式的运算，作差法比较大小，代数式化简
【点评】
本题结合生活消费场景命题，既考查了分式化简、代数式大小比较的核心知识，又引导学生用数学知识解决实际生活中的最优选择问题，解题的关键是正确列出平均价格的代数式，再借助完全平方公式判断差的正负。
【难度系数】
0.6
12. 化简：$\frac{1}{x-1}+\frac{x-1}{x+2}÷\frac{(x-1)^2}{x^2-4}.$
答案
12. 1
解析
【分析】
本题是分式的混合运算，解题需遵循“先乘除，后加减”的运算顺序：①先处理除法运算，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，将除法转化为乘法；②对可因式分解的多项式（此处$x^2-4$符合平方差公式）进行因式分解，再约去分子分母的公因式，得到最简分式；③最后将第一步的分式和约分后的结果按同分母分式加法法则计算，再约分得到最终结果。
【解析】
解：按照分式混合运算顺序，先计算除法，再计算加法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{x-1}+\frac{x-1}{x+2}×\frac{x^2-4}{(x-1)^2}\\&=\frac{1}{x-1}+\frac{x-1}{x+2}×\frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}\\&=\frac{1}{x-1}+\frac{x-2}{x-1}\\&=\frac{1+x-2}{x-1}\\&=\frac{x-1}{x-1}\\&=1 \quad (\mathrm{分式有意义的前提下})\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
分式混合运算；因式分解；同分母分式加法
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是严格遵循分式运算顺序，乘除运算阶段优先对多项式因式分解再约分，能大幅简化计算过程，注意计算时要避免符号和约分错误。
【难度系数】
0.7
本题是分式的混合运算，解题需遵循“先乘除，后加减”的运算顺序：①先处理除法运算，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，将除法转化为乘法；②对可因式分解的多项式（此处$x^2-4$符合平方差公式）进行因式分解，再约去分子分母的公因式，得到最简分式；③最后将第一步的分式和约分后的结果按同分母分式加法法则计算，再约分得到最终结果。
【解析】
解：按照分式混合运算顺序，先计算除法，再计算加法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{x-1}+\frac{x-1}{x+2}×\frac{x^2-4}{(x-1)^2}\\&=\frac{1}{x-1}+\frac{x-1}{x+2}×\frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}\\&=\frac{1}{x-1}+\frac{x-2}{x-1}\\&=\frac{1+x-2}{x-1}\\&=\frac{x-1}{x-1}\\&=1 \quad (\mathrm{分式有意义的前提下})\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
分式混合运算；因式分解；同分母分式加法
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是严格遵循分式运算顺序，乘除运算阶段优先对多项式因式分解再约分，能大幅简化计算过程，注意计算时要避免符号和约分错误。
【难度系数】
0.7
13. 化简：$\dfrac{x^2 -1}{x} ÷ ( \dfrac{x^2 +3x +1}{x} -1 ).$
答案
$\frac{x-1}{x+1}$
解析
【分析】
本题是分式的混合运算题，解题遵循“先括号内，后括号外”的运算顺序：首先处理括号内的分式减法，把整数1转化为分母为x的分式，通分后合并分子，再对分子做因式分解；接下来把除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以这个分式的倒数）；再对被除式的分子因式分解，最后约去分子分母的所有公因式，就能得到化简结果。
【解析】
解：原式$=\dfrac{x^2-1}{x} ÷ ( \dfrac{x^2+3x+1}{x} - \dfrac{x}{x} )$
$=\dfrac{x^2-1}{x} ÷ \dfrac{x^2+3x+1 - x}{x}$
$=\dfrac{x^2-1}{x} ÷ \dfrac{x^2+2x+1}{x}$
利用平方差公式和完全平方公式因式分解，得：
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x} ÷ \dfrac{(x+1)^2}{x}$
除法转乘法，得：
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x} × \dfrac{x}{(x+1)^2}$
约去公因式$x$和$(x+1)$，得：
$=\dfrac{x-1}{x+1}$
【答案】
$\dfrac{x-1}{x+1}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题重点考查分式混合运算的运算规则，计算时需注意先处理括号内的运算，通分时不要漏乘常数项，正确对多项式因式分解、准确约分是拿到满分的关键。
【难度系数】
0.7
本题是分式的混合运算题，解题遵循“先括号内，后括号外”的运算顺序：首先处理括号内的分式减法，把整数1转化为分母为x的分式，通分后合并分子，再对分子做因式分解；接下来把除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以这个分式的倒数）；再对被除式的分子因式分解，最后约去分子分母的所有公因式，就能得到化简结果。
【解析】
解：原式$=\dfrac{x^2-1}{x} ÷ ( \dfrac{x^2+3x+1}{x} - \dfrac{x}{x} )$
$=\dfrac{x^2-1}{x} ÷ \dfrac{x^2+3x+1 - x}{x}$
$=\dfrac{x^2-1}{x} ÷ \dfrac{x^2+2x+1}{x}$
利用平方差公式和完全平方公式因式分解，得：
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x} ÷ \dfrac{(x+1)^2}{x}$
除法转乘法，得：
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x} × \dfrac{x}{(x+1)^2}$
约去公因式$x$和$(x+1)$，得：
$=\dfrac{x-1}{x+1}$
【答案】
$\dfrac{x-1}{x+1}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题重点考查分式混合运算的运算规则，计算时需注意先处理括号内的运算，通分时不要漏乘常数项，正确对多项式因式分解、准确约分是拿到满分的关键。
【难度系数】
0.7
