基础知识·预习
问题1 求线段和的最小值问题，常用的依据是什么？
问题2 结合实例说一说解决“牧民饮马问题及其拓展”与“造桥选址问题”的方法与原理。

解：
问题1：求线段和的最小值问题常用的依据为：
① 两点之间，线段最短；
② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
问题2：
1. 牧民饮马问题及其拓展
实例：牧民从点A出发，到笔直的河岸l饮马后前往河岸同侧的点B，求河岸上的饮马位置，使得总行走路程最短。
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点即为所求的饮马位置。
原理：根据轴对称的性质，直线l上任意一点P满足PA=PA'，因此总路程PA+PB=PA'+PB，依据“两点之间，线段最短”，线段A'B的长度就是PA'+PB的最小值，对应交点即为满足总路程最短的点。
拓展：若点A、B在直线l的异侧，直接连接AB，AB与直线l的交点即为所求点，直接由两点之间线段最短即可得到最短路径。
2. 造桥选址问题
实例：A、B两地在互相平行的河两岸，要求建造的桥与河岸垂直，求桥的选址，使得从A到B的总路径最短。
方法：过点A作河岸的垂线，在垂线上截取AA'等于河的宽度，连接A'B，A'B与靠近B的河岸交于点N，过点N作河岸的垂线，交另一河岸于点M，则MN就是所求的桥的位置。
原理：由作图可知AA'与MN平行且长度相等，因此AM=A'N，总路径长度AM+MN+NB = A'N + NB + MN，其中MN的长度为固定的河宽，依据“两点之间，线段最短”，线段A'B的长度就是A'N+NB的最小值，因此该位置对应的总路径就是最短路径。

【典型例题1】如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点A出发，先到公路$l_1$上设卡检查，再到公路$l_2$上设卡检查，最后到点B处执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？
【解】(1)如图，作点A关于直线$l_1$的对称点$A'$；
(2)作点B关于直线$l_2$的对称点$B'$；
(3)连接$A'B'$，分别交直线$l_1,l_2$于点C,D，连接AC,BD。
所以他们按折线段AC—CD—DB的路线所走的总路程最短。

解：
(1) 作点A关于直线$l_1$的对称点$A'$；
(2) 作点B关于直线$l_2$的对称点$B'$；
(3) 连接$A'B'$，分别交直线$l_1$、$l_2$于点C、D，连接AC、BD。
则他们按折线段$AC-CD-DB$的路线行走，总路程最短。