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【典型例题1】如图，$OA＝OB$，$AB$交$\odot O$于点$C$，$D$，$OE$是半径，且$OE⊥ AB$，垂足为$F$.
(1)求证：$AC＝BD$.
(2)若$OF＝2EF$，$CD＝8$，求$\odot O$的直径长.
(1)【证明】$\because OE ⊥ AB$，且$OE$过圆心$O$，
$\therefore CF＝DF$.
$\because OA＝OB$，$OE ⊥ AB$，
$\therefore AF＝BF$.
$\therefore AF - CF＝BF - DF$.
$\therefore AC＝BD$.
(2)【解】如图，连接$OC$.
设$\odot O$的半径长是$R$.
$\because OF＝2EF$，$OF + EF＝OE＝R$，
$\therefore OF＝\frac{2}{3}R$.
$\because CD＝8$，
$\therefore CF＝\frac{1}{2}CD＝4$.
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，根据勾股定理，得
$OC^2＝OF^2 + CF^2$，即$R^2＝(\frac{2}{3}R)^2 + 4^2$.
解得$R_1＝\frac{12\sqrt{5}}{5},R_2＝-\frac{12\sqrt{5}}{5}$(不合题意，舍去).
$\because 2×\frac{12\sqrt{5}}{5}＝\frac{24\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore \odot O$的直径长是$\frac{24\sqrt{5}}{5}$.
规律方法 在一个圆中，一条直线若满足过圆心，且垂直于弦，则可以推出这条直线平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧.
(1)求证：$AC＝BD$.
(2)若$OF＝2EF$，$CD＝8$，求$\odot O$的直径长.
(1)【证明】$\because OE ⊥ AB$，且$OE$过圆心$O$，
$\therefore CF＝DF$.
$\because OA＝OB$，$OE ⊥ AB$，
$\therefore AF＝BF$.
$\therefore AF - CF＝BF - DF$.
$\therefore AC＝BD$.
(2)【解】如图，连接$OC$.
设$\odot O$的半径长是$R$.
$\because OF＝2EF$，$OF + EF＝OE＝R$，
$\therefore OF＝\frac{2}{3}R$.
$\because CD＝8$，
$\therefore CF＝\frac{1}{2}CD＝4$.
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，根据勾股定理，得
$OC^2＝OF^2 + CF^2$，即$R^2＝(\frac{2}{3}R)^2 + 4^2$.
解得$R_1＝\frac{12\sqrt{5}}{5},R_2＝-\frac{12\sqrt{5}}{5}$(不合题意，舍去).
$\because 2×\frac{12\sqrt{5}}{5}＝\frac{24\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore \odot O$的直径长是$\frac{24\sqrt{5}}{5}$.
规律方法 在一个圆中，一条直线若满足过圆心，且垂直于弦，则可以推出这条直线平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧.
答案
(1) 证明：$\because OE ⊥ AB$，且$OE$过圆心$O$，$\therefore CF＝DF$。$\because OA＝OB$，$OE ⊥ AB$，$\therefore AF＝BF$。$\therefore AF - CF＝BF - DF$，$\therefore AC＝BD$。
(2) 解：如图，连接$OC$，设$\odot O$的半径长是$R$。$\because OF＝2EF$，$OF + EF＝OE＝R$，$\therefore OF＝\frac{2}{3}R$。$\because CD＝8$，$\therefore CF＝\frac{1}{2}CD＝4$。在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，根据勾股定理，得$OC^2＝OF^2 + CF^2$，即$R^2＝(\frac{2}{3}R)^2 + 4^2$，解得$R_1＝\frac{12\sqrt{5}}{5},R_2＝-\frac{12\sqrt{5}}{5}$(不合题意，舍去)。$\because 2×\frac{12\sqrt{5}}{5}＝\frac{24\sqrt{5}}{5}$，$\therefore \odot O$的直径长是$\frac{24\sqrt{5}}{5}$。
(2) 解：如图，连接$OC$，设$\odot O$的半径长是$R$。$\because OF＝2EF$，$OF + EF＝OE＝R$，$\therefore OF＝\frac{2}{3}R$。$\because CD＝8$，$\therefore CF＝\frac{1}{2}CD＝4$。在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，根据勾股定理，得$OC^2＝OF^2 + CF^2$，即$R^2＝(\frac{2}{3}R)^2 + 4^2$，解得$R_1＝\frac{12\sqrt{5}}{5},R_2＝-\frac{12\sqrt{5}}{5}$(不合题意，舍去)。$\because 2×\frac{12\sqrt{5}}{5}＝\frac{24\sqrt{5}}{5}$，$\therefore \odot O$的直径长是$\frac{24\sqrt{5}}{5}$。
解析
【分析】
(1) 要证$AC=BD$，可通过线段和差转化推导：首先根据垂径定理，过圆心且垂直于弦的直线平分弦，可得$CF=DF$；再结合$OA=OB$可知$△ OAB$是等腰三角形，底边上的高$OE$平分底边$AB$，可得$AF=BF$，用两组相等线段作差即可得到$AC=BD$。
(2) 求圆的直径可先求半径：设$\odot O$的半径为$R$，根据$OF=2EF$且$OE=R$，可推出$OF=\frac{2}{3}R$；再由垂径定理可得$CF=\frac{1}{2}CD=4$；最后在$\mathrm{Rt}△OCF$中利用勾股定理列关于$R$的方程，求解出半径后乘2即为直径长度。
【解析】
(1) 证明：$\because OE ⊥ AB$，且$OE$过圆心$O$，$\therefore CF＝DF$。$\because OA＝OB$，$OE ⊥ AB$，$\therefore AF＝BF$。$\therefore AF - CF＝BF - DF$，$\therefore AC＝BD$。
(2) 解：如图，连接$OC$，设$\odot O$的半径长是$R$。$\because OF＝2EF$，$OF + EF＝OE＝R$，$\therefore OF＝\frac{2}{3}R$。$\because CD＝8$，$\therefore CF＝\frac{1}{2}CD＝4$。在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，根据勾股定理，得$OC^2＝OF^2 + CF^2$，即$R^2＝(\frac{2}{3}R)^2 + 4^2$，解得$R_1＝\frac{12\sqrt{5}}{5},R_2＝-\frac{12\sqrt{5}}{5}$(不合题意，舍去)。$\because 2×\frac{12\sqrt{5}}{5}＝\frac{24\sqrt{5}}{5}$，$\therefore \odot O$的直径长是$\frac{24\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $AC=BD$，证明成立；(2) $\frac{24\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
垂径定理、等腰三角形性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题关键是熟练运用垂径定理得到弦的等量关系，结合等腰三角形性质转化线段关系，第二问用到的方程思想是几何计算中常用的思想方法，需重点掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$AC=BD$，可通过线段和差转化推导：首先根据垂径定理，过圆心且垂直于弦的直线平分弦，可得$CF=DF$；再结合$OA=OB$可知$△ OAB$是等腰三角形，底边上的高$OE$平分底边$AB$，可得$AF=BF$，用两组相等线段作差即可得到$AC=BD$。
(2) 求圆的直径可先求半径：设$\odot O$的半径为$R$，根据$OF=2EF$且$OE=R$，可推出$OF=\frac{2}{3}R$；再由垂径定理可得$CF=\frac{1}{2}CD=4$；最后在$\mathrm{Rt}△OCF$中利用勾股定理列关于$R$的方程，求解出半径后乘2即为直径长度。
【解析】
(1) 证明：$\because OE ⊥ AB$，且$OE$过圆心$O$，$\therefore CF＝DF$。$\because OA＝OB$，$OE ⊥ AB$，$\therefore AF＝BF$。$\therefore AF - CF＝BF - DF$，$\therefore AC＝BD$。
(2) 解：如图，连接$OC$，设$\odot O$的半径长是$R$。$\because OF＝2EF$，$OF + EF＝OE＝R$，$\therefore OF＝\frac{2}{3}R$。$\because CD＝8$，$\therefore CF＝\frac{1}{2}CD＝4$。在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，根据勾股定理，得$OC^2＝OF^2 + CF^2$，即$R^2＝(\frac{2}{3}R)^2 + 4^2$，解得$R_1＝\frac{12\sqrt{5}}{5},R_2＝-\frac{12\sqrt{5}}{5}$(不合题意，舍去)。$\because 2×\frac{12\sqrt{5}}{5}＝\frac{24\sqrt{5}}{5}$，$\therefore \odot O$的直径长是$\frac{24\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $AC=BD$，证明成立；(2) $\frac{24\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
垂径定理、等腰三角形性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题关键是熟练运用垂径定理得到弦的等量关系，结合等腰三角形性质转化线段关系，第二问用到的方程思想是几何计算中常用的思想方法，需重点掌握。
【难度系数】
0.7
