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7.已知关于$x$的方程$x^2 - kx -7=0$的一个根是3，则另一个根是
$-\dfrac{7}{3}$
.答案
7. $-\dfrac{7}{3}$
8.若关于$x$的一元二次方程$x^2 + (a^2 - 3a)x + a = 0$的两个实数根互为倒数，则$a$的值为
1
。答案
8. 1
9.方程$x^2 + 2x + 3 = 0$与方程$x^2 - 4x - 7 = 0$的所有实数根之积为(
A.$-21$
B.$-7$
C.$2$
D.$4$
B
).A.$-21$
B.$-7$
C.$2$
D.$4$
答案
9. B 解析 $\because$ 方程 $x^2 + 2x + 3 = 0$ 中,$a=1,b=2,c=3$,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×3=-8＜0$,
$\therefore$ 该方程没有实数根.
$\because$ 方程 $x^2 - 4x - 7 = 0$ 中,$a=1,b=-4$,$c=-7$,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4×1×(-7)=44＞0$,
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根.
设该方程的两个实数根分别是 $x_1,x_2$,
则 $x_1x_2=-7$.
故选 B.
$\therefore \Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×3=-8＜0$,
$\therefore$ 该方程没有实数根.
$\because$ 方程 $x^2 - 4x - 7 = 0$ 中,$a=1,b=-4$,$c=-7$,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4×1×(-7)=44＞0$,
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根.
设该方程的两个实数根分别是 $x_1,x_2$,
则 $x_1x_2=-7$.
故选 B.
10.若$m,n$是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两个根，则$\sqrt{(m - n)^2}$的值是(
A.4
B.$\pm4$
C.$\pm\sqrt{13}$
D.$\sqrt{21}$
A
).A.4
B.$\pm4$
C.$\pm\sqrt{13}$
D.$\sqrt{21}$
答案
10. A 解析 $\because m,n$ 是方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$ 的两个根，
$\therefore m+n=-2,mn=-3$,
$\therefore (m-n)^2=(m+n)^2-4mn=(-2)^2-4×(-3)=16$,
$\therefore \sqrt{(m-n)^2}=\sqrt{16}=4.$
故选 A.
$\therefore m+n=-2,mn=-3$,
$\therefore (m-n)^2=(m+n)^2-4mn=(-2)^2-4×(-3)=16$,
$\therefore \sqrt{(m-n)^2}=\sqrt{16}=4.$
故选 A.
11.若$mn ≠ 1$，且$5m^2 + 2023m + 9 = 0$，$9n^2 + 2023n + 5 = 0$，则$\frac{m}{n}$的值为(
A
).答案
11. A 解析 由题意知 $mn≠0$.
将 $9n^2 + 2023n + 5 = 0$ 变形为 $5×(\dfrac{1}{n})^2 + 2023×\dfrac{1}{n} + 9 = 0.$
又 $5m^2 + 2023m + 9 = 0$,
$\therefore m$ 与 $\dfrac{1}{n}$ 为方程 $5x^2 + 2023x + 9 = 0$ 的两个根，
则 $m·\dfrac{1}{n}=\dfrac{m}{n}=\dfrac{9}{5}.$
故选 A.
将 $9n^2 + 2023n + 5 = 0$ 变形为 $5×(\dfrac{1}{n})^2 + 2023×\dfrac{1}{n} + 9 = 0.$
又 $5m^2 + 2023m + 9 = 0$,
$\therefore m$ 与 $\dfrac{1}{n}$ 为方程 $5x^2 + 2023x + 9 = 0$ 的两个根，
则 $m·\dfrac{1}{n}=\dfrac{m}{n}=\dfrac{9}{5}.$
故选 A.
12.设$a,b$是方程$x^2 - x -5=0$的两个实数根，则$a^2 + b -6$的值为
0
.答案
12. 0 解析 $\because a$ 是方程 $x^2 - x - 5 = 0$ 的实数根,$\therefore a^2 - a - 5 = 0$,即 $a^2 = a + 5.$
$\therefore a^2 + b - 6 = a + 5 + b - 6 = a + b - 1.$
根据根与系数的关系,得 $a + b = 1$,
$\therefore a^2 + b - 6 = 1 - 1 = 0.$
$\therefore a^2 + b - 6 = a + 5 + b - 6 = a + b - 1.$
根据根与系数的关系,得 $a + b = 1$,
$\therefore a^2 + b - 6 = 1 - 1 = 0.$
13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 -4x + m=0 $。
(1) 若方程有两个实数根，求 $ m $ 的取值范围；
(2) 若方程的两个实数根为 $ x_1, x_2 $，且 $ (x_1 -2)^2 + (x_2 -2)^2 + m^2 =23 $，求 $ m $ 的值。
(1) 若方程有两个实数根，求 $ m $ 的取值范围；
(2) 若方程的两个实数根为 $ x_1, x_2 $，且 $ (x_1 -2)^2 + (x_2 -2)^2 + m^2 =23 $，求 $ m $ 的值。
答案
13. 解 (1) $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 -4x + m = 0$ 有两个实数根，
$\therefore \Delta≥0$,即 $(-4)^2 -4m≥0$,解得 $m≤4.$
(2)$\because x_1,x_2$ 是方程 $x^2 -4x + m = 0$ 的两个实数根，
$\therefore x_1^2 -4x_1=-m,x_2^2 -4x_2=-m.$
$\because (x_1-2)^2 + (x_2-2)^2 + m^2 = 23$,
$\therefore x_1^2 -4x_1 +4 + x_2^2 -4x_2 +4 + m^2 =23$,
即 $m^2 -2m -15=0.$ 解得 $m=5$,或 $m=-3.$
又 $m≤4,\therefore m=-3.$
$\therefore \Delta≥0$,即 $(-4)^2 -4m≥0$,解得 $m≤4.$
(2)$\because x_1,x_2$ 是方程 $x^2 -4x + m = 0$ 的两个实数根，
$\therefore x_1^2 -4x_1=-m,x_2^2 -4x_2=-m.$
$\because (x_1-2)^2 + (x_2-2)^2 + m^2 = 23$,
$\therefore x_1^2 -4x_1 +4 + x_2^2 -4x_2 +4 + m^2 =23$,
即 $m^2 -2m -15=0.$ 解得 $m=5$,或 $m=-3.$
又 $m≤4,\therefore m=-3.$
14. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^2 - (1 + 2m)x + m + 1 = 0(m ≠ 0) $。
(1) 求证：该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 若该方程的两个根为 $ x_1, x_2 $，则是否存在 $ m $ 的值使 $ x_1^2 + x_2^2 = x_1x_2 $ 成立？若存在，请求出 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由。
(1) 求证：该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 若该方程的两个根为 $ x_1, x_2 $，则是否存在 $ m $ 的值使 $ x_1^2 + x_2^2 = x_1x_2 $ 成立？若存在，请求出 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由。
答案
14. (1) 证明 $\because \Delta = [-(1+2m)]^2 -4m(m+1)=4m^2+4m+1-4m^2-4m=1＞0$,
$\therefore$ 该方程总有两个不相等的实数根.
(2) 解 不存在. 理由如下:根据题意,得 $x_1+x_2=\dfrac{1+2m}{m},x_1x_2=\dfrac{m+1}{m}.$ 若 $x_1^2+x_2^2=x_1x_2$ 成立,则 $(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=x_1x_2$,即 $(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=0,\therefore (\dfrac{1+2m}{m})^2 - 3·\dfrac{m+1}{m}=0.$
整理,得 $m^2+m+1=0.$ $\because \Delta=1^2-4×1×1=-3＜0,\therefore$ 此方程无实数根,$\therefore$ 不存在 $m$ 的值使 $x_1^2+x_2^2=x_1x_2$ 成立.
$\therefore$ 该方程总有两个不相等的实数根.
(2) 解 不存在. 理由如下:根据题意,得 $x_1+x_2=\dfrac{1+2m}{m},x_1x_2=\dfrac{m+1}{m}.$ 若 $x_1^2+x_2^2=x_1x_2$ 成立,则 $(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=x_1x_2$,即 $(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=0,\therefore (\dfrac{1+2m}{m})^2 - 3·\dfrac{m+1}{m}=0.$
整理,得 $m^2+m+1=0.$ $\because \Delta=1^2-4×1×1=-3＜0,\therefore$ 此方程无实数根,$\therefore$ 不存在 $m$ 的值使 $x_1^2+x_2^2=x_1x_2$ 成立.
