1. 二次函数$y=ax^2$的图象的画法
典例1 在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：
(1)$y=-\frac{1}{3}x^2$；
(2)$y=\frac{1}{3}x^2$。

解：
采用描点法绘制两个函数的图象，步骤如下：
1. 列表：取自变量x的若干组互为相反数的数值，分别计算两个函数对应的y值：
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{1}{3}x^2$ | … | $3$ | $\frac{4}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $0$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{4}{3}$ | $3$ | … |
| $y=-\frac{1}{3}x^2$ | … | $-3$ | $-\frac{4}{3}$ | $-\frac{1}{3}$ | $0$ | $-\frac{1}{3}$ | $-\frac{4}{3}$ | $-3$ | … |
2. 描点：在同一平面直角坐标系中，根据上表的各组对应值，描出所有对应的点。
3. 连线：用平滑的曲线按横坐标从小到大的顺序依次连接各点，即可得到两个函数的图象。
最终得到：$y=\frac{1}{3}x^2$是开口向上、顶点在原点、关于y轴对称的抛物线；$y=-\frac{1}{3}x^2$是开口向下、顶点在原点、关于y轴对称的抛物线，两个图象关于x轴对称。

举一反三 在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：
(1)$y=\frac{3}{2}x^2$；(2)$y=-\frac{3}{2}x^2$。

解 分别列表如下.
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{3}{2}x^2$ | $\dots$ | $6$ | $1.5$ | $0$ | $1.5$ | $6$ | $\dots$ |
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
| $y=-\frac{3}{2}x^2$ | $\dots$ | $-6$ | $-1.5$ | $0$ | $-1.5$ | $-6$ | $\dots$ |
描点、连线,如图所示.

典例2 已知抛物线 $y = (m + 2)x^{m^2 + m - 4}$（$m$ 为常数）.
(1)求满足条件的 $m$ 的值.
(2)当 $m$ 为何值时，抛物线有最低点？写出这个最低点的坐标. 同时写出 $x$ 为何值时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(3)当 $m$ 为何值时，抛物线有最高点？写出这个最高点的坐标. 同时写出 $x$ 为何值时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
规律方法 当二次项系数 $a＞0$ 时，抛物线有最低点，函数有最小值；当二次项系数 $a＜0$ 时，抛物线有最高点，函数有最大值.
举一反三 若 $a＞1$，点 $(-a -1, y_1)$，$(a, y_2)$，$(a +1, y_3)$ 都在函数 $y = x^2$ 的图象上，试比较 $y_1, y_2, y_3$ 的大小.

解 因为 $a＞1$,所以$-a-1＜0＜a＜a+1$.
因为$-a-1$与$a+1$互为相反数,点$(-a-1,y_1),(a,y_2),(a+1,y_3)$都在函数$y=x^2$的图象上,所以$y_1=y_3$.
又$0＜a＜a+1$,在$y$轴右侧$y$随$x$的增大而增大,所以$y_3＞y_2$,所以$y_1=y_3＞y_2$.