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14. (新编)如图所示,A、B是质量相等的两个均匀实心正方体,棱长分别为$L_{A}和L_{B}$,且$L_{A}= 2L_{B}$。
(1)A、B的密度关系是$\rho_{A}=$
(2)若在两个正方体上部分别截取相同高度的部分,并将截取部分放在对方剩余部分上,此时左侧两物体总质量为$m_{左}$,右侧两物体总质量为$m_{右}$。请推导$m_{左}与m_{右}$的大小关系。
(1)A、B的密度关系是$\rho_{A}=$
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$\rho_{B}$。(2)若在两个正方体上部分别截取相同高度的部分,并将截取部分放在对方剩余部分上,此时左侧两物体总质量为$m_{左}$,右侧两物体总质量为$m_{右}$。请推导$m_{左}与m_{右}$的大小关系。
解：设截取高度为$ h $，$ m_{A}=m_{B}=m $。
$ V_{A}=L_{A}^{3} $，$ V_{B}=L_{B}^{3} $，$ L_{A}=2L_{B} $，则$ V_{A}=8V_{B} $。
由$ \rho=\frac{m}{V} $得$ \rho_{A}=\frac{m}{8V_{B}} $，$ \rho_{B}=\frac{m}{V_{B}} $，故$ \rho_{B}=8\rho_{A} $。
截取部分质量：$ m_{A截}=\rho_{A}L_{A}^{2}h $，$ m_{B截}=\rho_{B}L_{B}^{2}h $。
$ m_{左}=m_{A}-m_{A截}+m_{B截}=m-\rho_{A}(2L_{B})^{2}h+\rho_{B}L_{B}^{2}h $
$ =m-4\rho_{A}L_{B}^{2}h+8\rho_{A}L_{B}^{2}h=m+4\rho_{A}L_{B}^{2}h $
$ m_{右}=m_{B}-m_{B截}+m_{A截}=m-\rho_{B}L_{B}^{2}h+\rho_{A}(2L_{B})^{2}h $
$ =m-8\rho_{A}L_{B}^{2}h+4\rho_{A}L_{B}^{2}h=m-4\rho_{A}L_{B}^{2}h $
$ \because 4\rho_{A}L_{B}^{2}h＞0 $，$ \therefore m_{左}＞m_{右} $
$ V_{A}=L_{A}^{3} $，$ V_{B}=L_{B}^{3} $，$ L_{A}=2L_{B} $，则$ V_{A}=8V_{B} $。
由$ \rho=\frac{m}{V} $得$ \rho_{A}=\frac{m}{8V_{B}} $，$ \rho_{B}=\frac{m}{V_{B}} $，故$ \rho_{B}=8\rho_{A} $。
截取部分质量：$ m_{A截}=\rho_{A}L_{A}^{2}h $，$ m_{B截}=\rho_{B}L_{B}^{2}h $。
$ m_{左}=m_{A}-m_{A截}+m_{B截}=m-\rho_{A}(2L_{B})^{2}h+\rho_{B}L_{B}^{2}h $
$ =m-4\rho_{A}L_{B}^{2}h+8\rho_{A}L_{B}^{2}h=m+4\rho_{A}L_{B}^{2}h $
$ m_{右}=m_{B}-m_{B截}+m_{A截}=m-\rho_{B}L_{B}^{2}h+\rho_{A}(2L_{B})^{2}h $
$ =m-8\rho_{A}L_{B}^{2}h+4\rho_{A}L_{B}^{2}h=m-4\rho_{A}L_{B}^{2}h $
$ \because 4\rho_{A}L_{B}^{2}h＞0 $，$ \therefore m_{左}＞m_{右} $
答案
(1) 1/8
(2) 解：设截取高度为$ h $，$ m_{A}=m_{B}=m $。
$ V_{A}=L_{A}^{3} $，$ V_{B}=L_{B}^{3} $，$ L_{A}=2L_{B} $，则$ V_{A}=8V_{B} $。
由$ \rho=\frac{m}{V} $得$ \rho_{A}=\frac{m}{8V_{B}} $，$ \rho_{B}=\frac{m}{V_{B}} $，故$ \rho_{B}=8\rho_{A} $。
截取部分质量：$ m_{A截}=\rho_{A}L_{A}^{2}h $，$ m_{B截}=\rho_{B}L_{B}^{2}h $。
$ m_{左}=m_{A}-m_{A截}+m_{B截}=m-\rho_{A}(2L_{B})^{2}h+\rho_{B}L_{B}^{2}h $
$ =m-4\rho_{A}L_{B}^{2}h+8\rho_{A}L_{B}^{2}h=m+4\rho_{A}L_{B}^{2}h $
$ m_{右}=m_{B}-m_{B截}+m_{A截}=m-\rho_{B}L_{B}^{2}h+\rho_{A}(2L_{B})^{2}h $
$ =m-8\rho_{A}L_{B}^{2}h+4\rho_{A}L_{B}^{2}h=m-4\rho_{A}L_{B}^{2}h $
$ \because 4\rho_{A}L_{B}^{2}h＞0 $，$ \therefore m_{左}＞m_{右} $
(2) 解：设截取高度为$ h $，$ m_{A}=m_{B}=m $。
$ V_{A}=L_{A}^{3} $，$ V_{B}=L_{B}^{3} $，$ L_{A}=2L_{B} $，则$ V_{A}=8V_{B} $。
由$ \rho=\frac{m}{V} $得$ \rho_{A}=\frac{m}{8V_{B}} $，$ \rho_{B}=\frac{m}{V_{B}} $，故$ \rho_{B}=8\rho_{A} $。
截取部分质量：$ m_{A截}=\rho_{A}L_{A}^{2}h $，$ m_{B截}=\rho_{B}L_{B}^{2}h $。
$ m_{左}=m_{A}-m_{A截}+m_{B截}=m-\rho_{A}(2L_{B})^{2}h+\rho_{B}L_{B}^{2}h $
$ =m-4\rho_{A}L_{B}^{2}h+8\rho_{A}L_{B}^{2}h=m+4\rho_{A}L_{B}^{2}h $
$ m_{右}=m_{B}-m_{B截}+m_{A截}=m-\rho_{B}L_{B}^{2}h+\rho_{A}(2L_{B})^{2}h $
$ =m-8\rho_{A}L_{B}^{2}h+4\rho_{A}L_{B}^{2}h=m-4\rho_{A}L_{B}^{2}h $
$ \because 4\rho_{A}L_{B}^{2}h＞0 $，$ \therefore m_{左}＞m_{右} $
15. (新编)一只总质量为70kg的氧气瓶,瓶内氧气密度为$\rho_{0}$,使用半小时总质量变为40kg,瓶内氧气的密度为$\frac{1}{2}\rho_{0}$；再使用一段时间,总质量变为20kg。求此时瓶内氧气的密度$\rho$。
答案
解：设氧气瓶质量为$m_{\text{瓶}}$，容积为$V$。
初始时：$m_{\text{瓶}} + \rho_{0}V = 70\,\text{kg}$ ①
使用半小时后：$m_{\text{瓶}} + \frac{1}{2}\rho_{0}V = 40\,\text{kg}$ ②
① - ②得：$\frac{1}{2}\rho_{0}V = 30\,\text{kg}$，则$\rho_{0}V = 60\,\text{kg}$，代入①得$m_{\text{瓶}} = 10\,\text{kg}$。
再使用后总质量为$20\,\text{kg}$，此时氧气质量$m = 20\,\text{kg} - m_{\text{瓶}} = 10\,\text{kg}$。
由$\rho_{0}V = 60\,\text{kg}$得$V = \frac{60\,\text{kg}}{\rho_{0}}$，此时氧气密度$\rho = \frac{m}{V} = \frac{10\,\text{kg}}{\frac{60\,\text{kg}}{\rho_{0}}} = \frac{1}{6}\rho_{0}$。
答：此时瓶内氧气的密度$\rho$为$\frac{1}{6}\rho_{0}$。
初始时：$m_{\text{瓶}} + \rho_{0}V = 70\,\text{kg}$ ①
使用半小时后：$m_{\text{瓶}} + \frac{1}{2}\rho_{0}V = 40\,\text{kg}$ ②
① - ②得：$\frac{1}{2}\rho_{0}V = 30\,\text{kg}$，则$\rho_{0}V = 60\,\text{kg}$，代入①得$m_{\text{瓶}} = 10\,\text{kg}$。
再使用后总质量为$20\,\text{kg}$，此时氧气质量$m = 20\,\text{kg} - m_{\text{瓶}} = 10\,\text{kg}$。
由$\rho_{0}V = 60\,\text{kg}$得$V = \frac{60\,\text{kg}}{\rho_{0}}$，此时氧气密度$\rho = \frac{m}{V} = \frac{10\,\text{kg}}{\frac{60\,\text{kg}}{\rho_{0}}} = \frac{1}{6}\rho_{0}$。
答：此时瓶内氧气的密度$\rho$为$\frac{1}{6}\rho_{0}$。
16. (新编)如图所示,两个完全相同的圆柱形容器A与B放在水平桌面上,已知A容器中装有$400cm^{3}$水,B容器中酒精的质量与A容器中水的质量相等。($\rho_{水}= 1.0g/cm^{3}$,$\rho_{酒精}= 0.8g/cm^{3}$,$\rho_{铝}= 2.7g/cm^{3}$,$\rho_{铁}= 7.9g/cm^{3}$)
(1)求B容器中酒精的体积。
(2)若在A容器的水中浸没一块实心铝块,在B容器的酒精中浸没一块质量为790g的实心铁块,恰好使两容器的液面相平,则该铝块的质量为多少？
(1)求B容器中酒精的体积。
(2)若在A容器的水中浸没一块实心铝块,在B容器的酒精中浸没一块质量为790g的实心铁块,恰好使两容器的液面相平,则该铝块的质量为多少？
答案
(1)已知A容器中水的体积$V_{水}=400cm^{3}$，水的密度$\rho_{水}=1.0g/cm^{3}$，根据$m = \rho V$，可得水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0g/cm^{3}×400cm^{3}=400g$。
因为B容器中酒精的质量$m_{酒精}=m_{水}=400g$，酒精的密度$\rho_{酒精}=0.8g/cm^{3}$，所以酒精的体积$V_{酒精}=\frac{m_{酒精}}{\rho_{酒精}}=\frac{400g}{0.8g/cm^{3}} = 500cm^{3}$。
(2)已知铁块质量$m_{铁}=790g$，铁的密度$\rho_{铁}=7.9g/cm^{3}$，则铁块体积$V_{铁}=\frac{m_{铁}}{\rho_{铁}}=\frac{790g}{7.9g/cm^{3}}=100cm^{3}$。
设铝块体积为$V_{铝}$，两容器液面相平，说明此时A容器中水和铝块的总体积等于B容器中酒精和铁块的总体积，即$V_{水}+V_{铝}=V_{酒精}+V_{铁}$。
代入数据得$400cm^{3}+V_{铝}=500cm^{3}+100cm^{3}$，解得$V_{铝}=200cm^{3}$。
铝的密度$\rho_{铝}=2.7g/cm^{3}$，所以铝块质量$m_{铝}=\rho_{铝}V_{铝}=2.7g/cm^{3}×200cm^{3}=540g$。
答案：(1)$500cm^{3}$；(2)$540g$。
因为B容器中酒精的质量$m_{酒精}=m_{水}=400g$，酒精的密度$\rho_{酒精}=0.8g/cm^{3}$，所以酒精的体积$V_{酒精}=\frac{m_{酒精}}{\rho_{酒精}}=\frac{400g}{0.8g/cm^{3}} = 500cm^{3}$。
(2)已知铁块质量$m_{铁}=790g$，铁的密度$\rho_{铁}=7.9g/cm^{3}$，则铁块体积$V_{铁}=\frac{m_{铁}}{\rho_{铁}}=\frac{790g}{7.9g/cm^{3}}=100cm^{3}$。
设铝块体积为$V_{铝}$，两容器液面相平，说明此时A容器中水和铝块的总体积等于B容器中酒精和铁块的总体积，即$V_{水}+V_{铝}=V_{酒精}+V_{铁}$。
代入数据得$400cm^{3}+V_{铝}=500cm^{3}+100cm^{3}$，解得$V_{铝}=200cm^{3}$。
铝的密度$\rho_{铝}=2.7g/cm^{3}$，所以铝块质量$m_{铝}=\rho_{铝}V_{铝}=2.7g/cm^{3}×200cm^{3}=540g$。
答案：(1)$500cm^{3}$；(2)$540g$。
