8. (2025·编写)已知 $ y $ 与 $ x^2 $ 成反比例,且当 $ x = -2 $ 时,$ y = 2 $,那么当 $ x = 4 $ 时,$ y = $()
A. $ -2 $
B. $ 2 $
C. $ \frac{1}{2} $
D. $ -4 $

C

9. (1)(2025·编写)写出下列问题中两个变量之间的函数表达式,并判断其是不是反比例函数。
① 底边为 $ 3 \text{ cm} $ 的三角形的面积 $ y(\text{cm}^2) $ 随底边上的高 $ x(\text{cm}) $ 的变化而变化；
② 一艘轮船从相距 $ 200 \text{ km} $ 的甲地驶往乙地,轮船的速度 $ v(\text{km/h}) $ 与航行时间 $ t(\text{h}) $ 的关系；
③ 在检修 $ 100 \text{ m} $ 长的管道时,每天能完成 $ 10 \text{ m} $,剩下的未检修的管道长 $ y(\text{m}) $ 随检修天数 $ x $ 的变化而变化。
(2)(2025·编写)已知 $ y $ 是 $ x + 1 $ 的反比例函数,当 $ x = 2 $ 时,$ y = 6 $。
① 写出 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式；
② 求当 $ x = 4 $ 时 $ y $ 的值。

(1)【解】①根据三角形的面积公式，可得 $ y = \frac{1}{2} \times 3 \times x = \frac{3}{2}x $，∴不是反比例函数.
②∵ $ vt = 200 $，∴两个变量之间的函数表达式为 $ v = \frac{200}{t} $，是反比例函数.
③∵ $ y + 10x = 100 $，∴两个变量之间的函数表达式为 $ y = 100 - 10x $，不是反比例函数.
(2)【解】①由已知条件设函数关系式为 $ y = \frac{k}{x + 1} $，
∵当 $ x = 2 $ 时，$ y = 6 $，
∴ $ 6 = \frac{k}{2 + 1} $，解得 $ k = 18 $.
∴ $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为 $ y = \frac{18}{x + 1} $.
②当 $ x = 4 $ 时，$ y = \frac{18}{x + 1} = \frac{18}{4 + 1} = \frac{18}{5} $.

10. (2025·编写)已知函数 $ y = (m^2 + 2m)x^{m^2 - m - 1} $。
(1)如果 $ y $ 是 $ x $ 的正比例函数,求 $ m $ 的值；
(2)如果 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数,求出 $ m $ 的值,并写出此时 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式。

【解】(1)由 $ y = (m^{2} + 2m)x^{m^{2} - m - 1} $ 是正比例函数，得 $ m^{2} - m - 1 = 1 $ 且 $ m^{2} + 2m \neq 0 $，解得 $ m = 2 $ 或 $ m = -1 $.
(2)由 $ y = (m^{2} + 2m)x^{m^{2} - m - 1} $ 是反比例函数，得 $ m^{2} - m - 1 = -1 $ 且 $ m^{2} + 2m \neq 0 $，解得 $ m = 1 $.
故 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为 $ y = 3x^{-1} $.