【典例2】某企业为进一步提升市场竞争力,计划在明年利用新技术生产某款新手机,通过市场调研发现,生产该产品全年需要投入研发成本250万元,每生产x(千部)手机,需另外投入成本$R(x)$万元,其中$R(x)= \left\{\begin{array}{l} 10x^{2}+100x+800,0＜x＜50,\\ 504x+\frac {10000}{x-2}-6450,x≥50.\end{array}\right. $已知每部手机的售价为5000元,且生产的手机当年全部销售完.
(1)求明年该款手机的利润y(万元)关于年产量x的函数解析式.
(2)当年产量x为多少时,该企业所获得的利润最大? 最大利润是多少?

解题指导 (1)由题意可知,利润= 售价-研发成本-另外投入成本,据此可分段列出函数解析式,注意将单位统一为万元.
(2)根据解析式特征,分别求出每段函数解析式上的最值,进而得出答案.
答案 解:(1)当$0＜x＜50$时,$y= 500x-(10x^{2}+100x+800)-250= -10x^{2}+400x-1050$;
当$x≥50$时,$y= 500x-(504x+\frac {10000}{x-2}-6450)-250= -(4x+\frac {10000}{x-2})+6200$.
综上,$y= \left\{\begin{array}{l} -10x^{2}+400x-1050,0＜x＜50,\\ -(4x+\frac {10000}{x-2})+6200,x≥50.\end{array}\right. $
(2)当$0＜x＜50$时,$y= -10x^{2}+400x-1050= -10(x-20)^{2}+2950$,$\therefore当x= 20$时,$y_{max}= 2950$.
当$x≥50$时,$y= -(4x+\frac {10000}{x-2})+6200= -4(x-2)-\frac {10000}{x-2}+6192≤-2\sqrt {40000}+6192= 5792$,当且仅当$4(x-2)= \frac {10000}{x-2}$,即$x= 52$时,等号成立,此时$y_{max}= 5792$.
综上,当年产量为52千部时,该企业所获得的利润最大,最大利润是5792万元.

【变式1】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,已知每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现:若以每箱50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元)之间的函数解析式.
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式.
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润? 最大利润是多少?

解:(1)根据题意,得$y=90-3(x-50),$
即$y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).$
(2)根据题意,得$w=(x-40)(-3x+240)=-3x^{2}+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).$
(3)因为$w=-3x^{2}+360x-9600=-3(x-60)^{2}+1200,$
所以当$x＜60$时,w随x的增大而增大.
又因为$50≤x≤55,x∈N$,所以当$x=55$时,w取得最大值,最大值为1125.
故当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,最大利润是1125元.