13. 利用二次函数的图象求下列一元二次方程的解(或近似解)。
(1)$x^{2}-2x-1= 0$；
(2)$x^{2}+5= 4x$。

(1)设$y=x^{2}-2x-1$，则方程$x^{2}-2x-1=0$的解就是该函数图象与$x$轴交点的横坐标.
观察图象(图象略)可得，抛物线$y=x^{2}-2x-1$与$x$轴的交点的横坐标$x_{1}\approx 2.4,x_{2}\approx -0.4$，
∴方程$x^{2}-2x-1=0$的近似解是$x_{1}\approx 2.4,x_{2}\approx -0.4$.
(2)设$y=x^{2}-4x+5$，则方程$x^{2}+5=4x$，即$x^{2}-4x+5=0$的解就是该函数图象与$x$轴交点的横坐标.
观察图象(图象略)可得，方程$x^{2}+5=4x$无实数解.

14. 如图,抛物线$y= ax^{2}+2ax+1与x轴仅有一个公共点A$,经过点$A的直线交该抛物线于点B$,交$y轴于点C$,且点$C是线段AB$的中点。
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)求直线$AB$对应的函数表达式。

(1)$\because$抛物线$y=ax^{2}+2ax+1$与$x$轴仅有一个公共点$A$，
$\therefore 4a^{2}-4a=0$，解得$a_{1}=0$(舍去)，$a_{2}=1$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=x^{2}+2x+1$.
(2)$\because y=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$，
$\therefore$顶点$A$的坐标为$(-1,0)$.
$\because$点$C$是线段$AB$的中点，即点$A$与点$B$关于$C$点对称，
$\therefore B$点的横坐标为$1$，
当$x=1$时，$y=1+2+1=4$，则$B(1,4)$.
设直线$AB$的表达式为$y=kx+b$，
把$A(-1,0)$，$B(1,4)$代入得$\begin{cases}-k+b=0,\\k+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=2,\end{cases}$
$\therefore$直线$AB$的表达式为$y=2x+2$.

15. 已知点$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})在二次函数y= x^{2}+mx+n$的图象上,当$x_{1}= 1$,$x_{2}= 3$时,$y_{1}= y_{2}$。
(1)①求$m$的值；
②若抛物线与$x$轴只有一个公共点,求$n$的值。
(2)若$P(a,b_{1})$,$Q(3,b_{2})$是函数图象上的两点,且$b_{1}＞b_{2}$,求实数$a$的取值范围。

(1)①$\because$当$x_{1}=1,x_{2}=3$时，$y_{1}=y_{2}$，
$\therefore 1+m+n=9+3m+n$，$\therefore m=-4$.
②$\because$抛物线与$x$轴只有一个公共点，
$\therefore b^{2}-4ac=m^{2}-4n=0$，即$16-4n=0$，$\therefore n=4$.
(2)$\because$抛物线的对称轴为直线$x=2$，
$\therefore$当$P(a,b_{1})$，$Q(3,b_{2})$在对称轴的右侧，则$a＞3$时，$b_{1}＞b_{2}$；
当$P(a,b_{1})$，$Q(3,b_{2})$在对称轴的两侧，而当$x_{1}=1$，$x_{2}=3$时，$y_{1}=y_{2}$，则$a＜1$时，$b_{1}＞b_{2}$.
$\therefore$实数$a$的取值范围是$a＜1$或$a＞3$.