5.(2021河南,16(2))化简:$(1-\frac{1}{x})÷\frac{2x-2}{x^{2}}$.

$\frac{x}{2}$

原式$=(\frac{x}{x}-\frac{1}{x})÷\frac{2(x-1)}{x^{2}}=\frac{x-1}{x}×\frac{x^{2}}{2(x-1)}=\frac{x}{2}$

6.(2022河南,16(2))化简:$\frac{x^{2}-1}{x}÷(1-\frac{1}{x})$.

$x + 1$

首先将括号内表达式通分，得到：
$1 - \frac{1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$，
将原式的除法转化为乘法，即：
$\frac{x^{2} - 1}{x} ÷ \left(1 - \frac{1}{x}\right) = \frac{x^{2} - 1}{x} × \frac{x}{x - 1}$，
对 $x^{2} - 1$ 进行因式分解，得到：
$x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)$，
将因式分解后的结果代入原式，得到：
$\frac{(x + 1)(x - 1)}{x} × \frac{x}{x - 1}$，
进行约分，得到：
$x + 1$。

7.(2024河南,16(2))化简:$(\frac{3}{a-2}+1)÷\frac{a+1}{a^{2}-4}$.

$a+2$（写最终式子即可，此题为开放题目无选项）

原式$= \left( \frac{3}{a - 2} + \frac{a - 2}{a - 2} \right) ÷ \frac{a + 1}{(a + 2)(a - 2)}$
$= \frac{3 + a - 2}{a - 2} ÷ \frac{a + 1}{(a + 2)(a - 2)}$
$= \frac{a + 1}{a - 2} × \frac{(a + 2)(a - 2)}{a + 1}$
$= a + 2$

8. 化简:$\frac{x+3}{x^{2}-2x+1}·\frac{x-1}{x^{2}+3x}+\frac{1}{x}$.

$\frac{1}{x - 1}$

$\begin{aligned}&\frac{x+3}{x^{2}-2x+1}·\frac{x-1}{x^{2}+3x}+\frac{1}{x}\\=&\frac{x+3}{(x-1)^2}·\frac{x-1}{x(x+3)}+\frac{1}{x}\\=&\frac{1}{x(x-1)}+\frac{1}{x}\\=&\frac{1}{x(x-1)}+\frac{x-1}{x(x-1)}\\=&\frac{1 + x - 1}{x(x - 1)}\\=&\frac{x}{x(x - 1)}\\=&\frac{1}{x - 1}\end{aligned}$

9.(2025苏州)先化简,再求值:$(\frac{2}{x-1}+1)·\frac{x^{2}-x}{x^{2}+2x+1}$,其中$x=-2$.

2

$\begin{aligned}&(\frac{2}{x-1}+1)·\frac{x^{2}-x}{x^{2}+2x+1}\\=&\left(\frac{2}{x-1}+\frac{x-1}{x-1}\right)·\frac{x(x-1)}{(x+1)^2}\\=&\frac{x+1}{x-1}·\frac{x(x-1)}{(x+1)^2}\\=&\frac{x}{x+1}\end{aligned}$
当$x=-2$时，$\frac{x}{x+1}=\frac{-2}{-2+1}=2$

10.(2020河南,16)先化简,再求值:$(1-\frac{1}{a+1})÷\frac{a}{a^{2}-1}$,其中$a=\sqrt{5}+1$.

$\sqrt{5}$（或填具体值对应的选项（若有））

首先对括号内的分式进行通分：$1 - \frac{1}{a+1} = \frac{a+1-1}{a+1} = \frac{a}{a+1}$，
原式变为：$\frac{a}{a+1} ÷ \frac{a}{a^2-1}$，
将除法转化为乘法，并化简分式：
$\frac{a}{a+1} × \frac{a^2-1}{a} = \frac{a(a+1)(a-1)}{(a+1)a} = a-1$（因为$a \neq 0, -1, 1$，否则分式无意义），
代入给定的$a$值：
当$a = \sqrt{5} + 1$时，$a - 1 = \sqrt{5} + 1 - 1 = \sqrt{5}$。

11.(2025济源三模)下面是小华化简分式$(\frac{2x-5}{x-2}-1)÷\frac{x-3}{x^{2}-4}$的过程:
解:原式$=(\frac{2x-5}{x-2}-\frac{x-2}{x-2})÷\frac{x-3}{(x-2)(x+2)}$第一步
$=\frac{2x-5-x-2}{x-2}·\frac{(x-2)(x+2)}{x-3}$第二步
$=\frac{(x-7)(x+2)}{x-3}$.第三步
(1)小华的化简过程中,涉及分式的通分的步骤是第步,涉及分式的约分的步骤是第步;
(2)小华的化简过程从第步开始出现错误;
(3)请你写出正确的化简过程,并从2,3,4,5中选择一个合适的数代入求值.

(1)一，三；(2)二；(3)过程见解析，代值$4$

(1)通分是将几个异分母的分式，转化为与原分式相等的同分母的分式，在化简过程中，第一步将$1$转化为$\frac{x - 2}{x - 2}$，与$\frac{2x - 5}{x - 2}$通分，所以涉及分式的通分的步骤是第一步；
约分是将分式的分子和分母同时除以一个相同的数或整式，使得分式化为最简形式，第三步中分子分母同时约去$x - 2$，所以涉及分式的约分的步骤是第三步。
(2)第二步中，$\frac{2x - 5 - x - 2}{x - 2}$计算错误，应该是$\frac{2x - 5 - (x - 2)}{x - 2}=\frac{2x - 5 - x + 2}{x - 2}$，所以小华的化简过程从第二步开始出现错误。
(3)原式$=(\frac{2x - 5}{x - 2}-\frac{x - 2}{x - 2})÷\frac{x - 3}{(x - 2)(x + 2)}$
$=\frac{2x - 5 - (x - 2)}{x - 2}×\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 3}$
$=\frac{2x - 5 - x + 2}{x - 2}×\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 3}$
$=\frac{x - 3}{x - 2}×\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 3}$
$=x + 2$
因为分母不能为$0$，则$x - 2\neq0$，$x - 3\neq0$，即$x\neq2$且$x\neq3$，所以取$x = 4$，当$x = 4$时，原式$=4 + 2 = 6$。