3. (2022 河南,22)为弘扬民族传统体育文化,某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究,如图,滚铁环时,铁环 $ \odot O $ 与水平地面相切于点 $ C $,推杆 $ AB $ 与铅垂线 $ AD $ 的夹角为 $ \angle BAD $,点 $ O $,$ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 在同一平面内.当推杆 $ AB $ 与铁环 $ \odot O $ 相切于点 $ B $ 时,手上的力量通过切点 $ B $ 传递到铁环上,会有较好的启动效果.
(1)求证:$ \angle BOC + \angle BAD = 90^{\circ} $.
(2)实践中发现,切点 $ B $ 只有在铁环上一定区域内时,才能保证铁环平稳启动.图中点 $ B $ 是该区域内最低位置,此时点 $ A $ 距地面的距离 $ AD $ 最小,测得 $ \cos \angle BAD = \frac{3}{5} $.已知铁环 $ \odot O $ 的半径为 $ 25 \mathrm{cm} $,推杆 $ AB $ 的长为 $ 75 \mathrm{cm} $,求此时 $ AD $ 的长.

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(1) 因为⊙O与地面相切于C，所以OC⊥地面，AD为铅垂线，故AD⊥地面，因此OC//AD。AB与⊙O相切于B，所以OB⊥AB，即∠OBA=90°。设∠BAD=α，由于OC//AD，∠OAB=∠BOC（内错角）。在Rt△OBA中，∠OAB + ∠BOA=90°，而∠BOA=∠BOC，故∠BOC + α=90°，即∠BOC + ∠BAD=90°。
(2) 设∠BAD=α，cosα=3/5，则sinα=4/5。⊙O半径25cm，B为切点，由(1)知∠BOC=90°-α，故B点坐标为(25cosα,25-25sinα)=(15,5)。设A(d,h)，AB=75cm，由距离公式得(d-15)²+(h-5)²=75²。又OC//AD，由几何关系3d - 4h=25（推导过程略），解得d=(4h+25)/3。代入距离公式解得h=50，即AD=50cm。

4. (2021 河南,20)在古代,智慧的劳动人民已经会使用“石磨”,其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”,推动“连杆”带动磨盘转动,将粮食磨碎,物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”,设计图如图 1 所示,两个固定长度的“连杆”$ AP $,$ BP $ 的连接点 $ P $ 在 $ \odot O $ 上,当点 $ P $ 在 $ \odot O $ 上转动时,带动点 $ A $,$ B $ 分别在射线 $ OM $,$ ON $ 上滑动,$ OM ⊥ ON $.当 $ AP $ 与 $ \odot O $ 相切时,点 $ B $ 恰好落在 $ \odot O $ 上,如图 2 所示.
请仅就图 2 的情形解答下列问题.
(1)求证:$ \angle PAO = 2 \angle PBO $;
(2)若 $ \odot O $ 的半径为 $ 5 $,$ AP = \frac{20}{3} $,求 $ BP $ 的长.

(1)见解析；(2)3√10

(1)连接OP，∵AP与⊙O相切，∴OP⊥AP，即∠OPA=90°。设∠PAO=β，∠PBO=α，OB=OP=半径r，∴△OBP为等腰三角形，∠OPB=α，∠BOP=180°-2α。∵OM⊥ON，∴∠AOB=90°，在Rt△OPA中，∠AOP=90°-β。又∠AOP+∠BOP=90°，∴90°-β+180°-2α=90°，化简得β=2α，即∠PAO=2∠PBO。
(2)在Rt△OPA中，OP=5，AP=20/3，由勾股定理得OA=√(OP²+AP²)=√(5²+(20/3)²)=25/3。cos∠PAO=AP/OA=4/5，设∠PAO=2α，则∠PBO=α，cos2α=4/5。由cos2α=2cos²α-1，得4/5=2cos²α-1，解得cosα=3/√10。在△OBP中，OB=OP=5，由余弦定理BP²=OB²+OP²-2·OB·OP·cos∠BOP，∠BOP=180°-2α，cos∠BOP=-cos2α=-4/5，∴BP²=5²+5²-2×5×5×(-4/5)=90，BP=3√10。