3. （2025 泸州）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y = -x^{2} + bx + c$经过点$(2, 3)$，与$x$轴交于点$A(-1, 0)$和点$B$。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点$C$，$D$在直线$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$上，点$E$在$x$轴上，$F$是抛物线上位于第一象限的点，若四边形$CDEF$是正方形，求点$F$的坐标；
（3）设点$P(x_{1}, y_{1})$在抛物线$y = -x^{2} + bx + c$上，点$Q(x_{1}, y_{2})$在抛物线$y = x^{2} - (4m - 2)x + 4m^{2} + 2$上，当$1 \leq x_{1} \leq 2$时，$y_{2} - y_{1}$的最小值为$3$，求$m$的值。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点$C$，$D$在直线$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$上，点$E$在$x$轴上，$F$是抛物线上位于第一象限的点，若四边形$CDEF$是正方形，求点$F$的坐标；
（3）设点$P(x_{1}, y_{1})$在抛物线$y = -x^{2} + bx + c$上，点$Q(x_{1}, y_{2})$在抛物线$y = x^{2} - (4m - 2)x + 4m^{2} + 2$上，当$1 \leq x_{1} \leq 2$时，$y_{2} - y_{1}$的最小值为$3$，求$m$的值。
答案
（1）$y=-x^2+2x+3$；（2）$(\frac{20}{7},\frac{27}{49})$；（3）$m=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$或$\sqrt{2}$
解析
（1）将点$A(-1,0)$和$(2,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1 - b + c = 0 \\ -4 + 2b + c = 3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=2 \\ c=3 \end{cases}$，抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$。
（2）设$D(m,\frac{1}{2}m+\frac{1}{2})$，直线$DE$斜率为$-2$（与$CD$垂直），$E(\frac{5m+1}{4},0)$。$DE=\frac{(m+1)\sqrt{5}}{4}$，$CD=\frac{|m+1|\sqrt{5}}{2}$，由$CD=DE$得$m=\frac{59}{49}$。$F(\frac{7m+3}{4},\frac{m+1}{4})=(\frac{20}{7},\frac{27}{49})$。
（3）$y_2 - y_1=2x^2 -4mx +4m^2 -1$，对称轴$x=m$。
当$m\leq1$时，$x=1$取最小值$(2m-1)^2=3$，得$m=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$；
当$1＜m＜2$时，$x=m$取最小值$2m^2 -1=3$，得$m=\sqrt{2}$；
当$m\geq2$时，无解。
综上，$m=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$或$\sqrt{2}$。
$\begin{cases} -1 - b + c = 0 \\ -4 + 2b + c = 3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=2 \\ c=3 \end{cases}$，抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$。
（2）设$D(m,\frac{1}{2}m+\frac{1}{2})$，直线$DE$斜率为$-2$（与$CD$垂直），$E(\frac{5m+1}{4},0)$。$DE=\frac{(m+1)\sqrt{5}}{4}$，$CD=\frac{|m+1|\sqrt{5}}{2}$，由$CD=DE$得$m=\frac{59}{49}$。$F(\frac{7m+3}{4},\frac{m+1}{4})=(\frac{20}{7},\frac{27}{49})$。
（3）$y_2 - y_1=2x^2 -4mx +4m^2 -1$，对称轴$x=m$。
当$m\leq1$时，$x=1$取最小值$(2m-1)^2=3$，得$m=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$；
当$1＜m＜2$时，$x=m$取最小值$2m^2 -1=3$，得$m=\sqrt{2}$；
当$m\geq2$时，无解。
综上，$m=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$或$\sqrt{2}$。
