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1. 新趋势·跨化学学科（2026辽宁鞍山期中）有机化学中烷烃$\ce{CH_{4},C_{2}H_{6},C_{3}H_{8},…}$对应的结构式如图所示，则$\ce{C_{10}H_{m}}$中$m$的值是
22
。答案
1. 22
解析
【分析】
首先观察给出的三组烷烃的碳原子、氢原子数量对应关系：含1个C的烷烃对应4个H，含2个C的烷烃对应6个H，含3个C的烷烃对应8个H。对比可发现每增加1个C原子，H原子数就增加2个，接下来先总结C原子个数和H原子个数的通用规律，再将C原子数为10代入规律，即可求出m的值。
【解析】
解：整理已知的对应数量：
当碳原子数$n=1$时，氢原子数为$4=2×1+2$；
当碳原子数$n=2$时，氢原子数为$6=2×2+2$；
当碳原子数$n=3$时，氢原子数为$8=2×3+2$；
由此可归纳规律：含$n$个碳原子的烷烃，氢原子的个数为$2n+2$。
当$n=10$时，$m=2×10+2=22$。
【答案】
22
【知识点】
数字规律探究；代数式求值
【点评】
本题结合有机化学烷烃的结构式考查数字规律探究能力，需要学生从已知的几组对应数据中总结通用规律，再代入目标数值计算，体现了跨学科知识融合的考查趋势，侧重对归纳推理能力的检验。
【难度系数】
0.8
首先观察给出的三组烷烃的碳原子、氢原子数量对应关系：含1个C的烷烃对应4个H，含2个C的烷烃对应6个H，含3个C的烷烃对应8个H。对比可发现每增加1个C原子，H原子数就增加2个，接下来先总结C原子个数和H原子个数的通用规律，再将C原子数为10代入规律，即可求出m的值。
【解析】
解：整理已知的对应数量：
当碳原子数$n=1$时，氢原子数为$4=2×1+2$；
当碳原子数$n=2$时，氢原子数为$6=2×2+2$；
当碳原子数$n=3$时，氢原子数为$8=2×3+2$；
由此可归纳规律：含$n$个碳原子的烷烃，氢原子的个数为$2n+2$。
当$n=10$时，$m=2×10+2=22$。
【答案】
22
【知识点】
数字规律探究；代数式求值
【点评】
本题结合有机化学烷烃的结构式考查数字规律探究能力，需要学生从已知的几组对应数据中总结通用规律，再代入目标数值计算，体现了跨学科知识融合的考查趋势，侧重对归纳推理能力的检验。
【难度系数】
0.8
2. (2026内蒙古自治区巴彦淖尔期末)用长度相同的小棒按一定的规律拼成的图形如图所示，拼第1个图形需要7根小棒，拼第2个图形需要13根小棒，拼第3个图形需要21根小棒，拼第4个图形需要31根小棒……依此规律，拼第11个图形需要
157
根小棒。答案
2. 157 启发与线索 拼第n个图形需要的小棒根数为$n(n+3)+3$,据此解答.
解析
【分析】
解决本题首先需要将已知的前几个图形对应的小棒数量和图形序号对应起来，观察数字特征寻找规律：第1个图形（n=1）需7根小棒，第2个（n=2）需13根，第3个（n=3）需21根，第4个（n=4）需31根。对数字进行拆分可得：7=1×4+3，13=2×5+3，21=3×6+3，31=4×7+3，可发现其中一个乘数是图形序号加3，因此可归纳出第n个图形的小棒数量的通用表达式，最后将n=11代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
设第n个图形需要的小棒数量为$a_n$，结合已知条件：
当$n=1$时，$a_1=7=1×(1+3)+3$；
当$n=2$时，$a_2=13=2×(2+3)+3$；
当$n=3$时，$a_3=21=3×(3+3)+3$；
当$n=4$时，$a_4=31=4×(4+3)+3$；
由此可归纳规律：第n个图形需要的小棒根数为$\boldsymbol{a_n = n(n+3)+3 = n^2+3n+3}$。
求第11个图形的小棒数时，将$n=11$代入上述表达式：
$a_{11}=11^2 + 3×11 + 3 = 121 + 33 + 3 = 157$
【答案】
157
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题是典型的图形变化规律探究题，解题核心是通过观察前几个图形的数量特征，归纳出通用的代数表达式，再代入指定序号求解，侧重考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先需要将已知的前几个图形对应的小棒数量和图形序号对应起来，观察数字特征寻找规律：第1个图形（n=1）需7根小棒，第2个（n=2）需13根，第3个（n=3）需21根，第4个（n=4）需31根。对数字进行拆分可得：7=1×4+3，13=2×5+3，21=3×6+3，31=4×7+3，可发现其中一个乘数是图形序号加3，因此可归纳出第n个图形的小棒数量的通用表达式，最后将n=11代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
设第n个图形需要的小棒数量为$a_n$，结合已知条件：
当$n=1$时，$a_1=7=1×(1+3)+3$；
当$n=2$时，$a_2=13=2×(2+3)+3$；
当$n=3$时，$a_3=21=3×(3+3)+3$；
当$n=4$时，$a_4=31=4×(4+3)+3$；
由此可归纳规律：第n个图形需要的小棒根数为$\boldsymbol{a_n = n(n+3)+3 = n^2+3n+3}$。
求第11个图形的小棒数时，将$n=11$代入上述表达式：
$a_{11}=11^2 + 3×11 + 3 = 121 + 33 + 3 = 157$
【答案】
157
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题是典型的图形变化规律探究题，解题核心是通过观察前几个图形的数量特征，归纳出通用的代数表达式，再代入指定序号求解，侧重考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
3. 用黑色、白色棋子摆成的图形如图所示，观察各个图形和对应表达式的变化规律，解答下列问题.
$3^2 - 2^2 = 5$ 第1个
$5^2 - 4^2 = 9$ 第2个
$7^2 - 6^2 = 13$ 第3个
(1) 写出第4个图形对应的表达式；
(2) 写出第n个图形对应的表达式；
(3) 利用上面发现的规律计算 $2025^2 - 2024^2$.
$3^2 - 2^2 = 5$ 第1个
$5^2 - 4^2 = 9$ 第2个
$7^2 - 6^2 = 13$ 第3个
(1) 写出第4个图形对应的表达式；
(2) 写出第n个图形对应的表达式；
(3) 利用上面发现的规律计算 $2025^2 - 2024^2$.
答案
3. 解: (1) $9^2-8^2=17$.
(2) $(2n+1)^2-(2n)^2=4n+1$.
(3) $2\ 025^2-2\ 024^2=4\ 049$.
(2) $(2n+1)^2-(2n)^2=4n+1$.
(3) $2\ 025^2-2\ 024^2=4\ 049$.
解析
【分析】
解题时先观察给出的前3个等式，分析等式左右两边数字的变化规律：①被减数的底数依次为3、5、7，是连续的奇数，第k个的底数为2k+1；②减数的底数依次为2、4、6，是连续的偶数，第k个的底数为2k，且减数底数比被减数底数小1；③结果依次为5、9、13，每次增加4，第k个的结果为4k+1。按照这个规律依次解决三个问题即可：第(1)问代入k=4写出对应等式；第(2)问用n替换k写出通用表达式并验证；第(3)问将所求式子对应到规律中，代入计算即可。
【解析】
(1) 观察已知等式：
第1个：$3^2-2^2=5$，其中$3=2×1+1$，$2=2×1$，$5=4×1+1$
第2个：$5^2-4^2=9$，其中$5=2×2+1$，$4=2×2$，$9=4×2+1$
第3个：$7^2-6^2=13$，其中$7=2×3+1$，$6=2×3$，$13=4×3+1$
可得第4个等式的被减数底数为$2×4+1=9$，减数底数为$2×4=8$，计算得$9^2-8^2=81-64=17$，即第4个表达式为$9^2-8^2=17$。
(2) 结合上述规律，第n个等式中，被减数的底数为$2n+1$，减数的底数为$2n$，对左边展开计算：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n)^2&=(4n^2+4n+1)-4n^2\\&=4n+1\end{aligned}$
因此第n个图形对应的表达式为$(2n+1)^2-(2n)^2=4n+1$。
(3) 观察$2025^2-2024^2$，可知$2025=2n+1$，$2024=2n$，对应规律中的形式，代入第(2)问的结论得：
由$2n=2024$得$n=1012$，则$2025^2-2024^2=4×1012+1=4049$。
【答案】
(1) $9^2-8^2=17$
(2) $(2n+1)^2-(2n)^2=4n+1$
(3) $4049$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题需要学生从已知的等式和图形中归纳出数字的变化规律，再将规律转化为通用的代数式，最后应用规律解决具体计算问题，侧重考查观察归纳能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察给出的前3个等式，分析等式左右两边数字的变化规律：①被减数的底数依次为3、5、7，是连续的奇数，第k个的底数为2k+1；②减数的底数依次为2、4、6，是连续的偶数，第k个的底数为2k，且减数底数比被减数底数小1；③结果依次为5、9、13，每次增加4，第k个的结果为4k+1。按照这个规律依次解决三个问题即可：第(1)问代入k=4写出对应等式；第(2)问用n替换k写出通用表达式并验证；第(3)问将所求式子对应到规律中，代入计算即可。
【解析】
(1) 观察已知等式：
第1个：$3^2-2^2=5$，其中$3=2×1+1$，$2=2×1$，$5=4×1+1$
第2个：$5^2-4^2=9$，其中$5=2×2+1$，$4=2×2$，$9=4×2+1$
第3个：$7^2-6^2=13$，其中$7=2×3+1$，$6=2×3$，$13=4×3+1$
可得第4个等式的被减数底数为$2×4+1=9$，减数底数为$2×4=8$，计算得$9^2-8^2=81-64=17$，即第4个表达式为$9^2-8^2=17$。
(2) 结合上述规律，第n个等式中，被减数的底数为$2n+1$，减数的底数为$2n$，对左边展开计算：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n)^2&=(4n^2+4n+1)-4n^2\\&=4n+1\end{aligned}$
因此第n个图形对应的表达式为$(2n+1)^2-(2n)^2=4n+1$。
(3) 观察$2025^2-2024^2$，可知$2025=2n+1$，$2024=2n$，对应规律中的形式，代入第(2)问的结论得：
由$2n=2024$得$n=1012$，则$2025^2-2024^2=4×1012+1=4049$。
【答案】
(1) $9^2-8^2=17$
(2) $(2n+1)^2-(2n)^2=4n+1$
(3) $4049$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题需要学生从已知的等式和图形中归纳出数字的变化规律，再将规律转化为通用的代数式，最后应用规律解决具体计算问题，侧重考查观察归纳能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
4. ☆新素养·推理能力 同学们在趣味数学社团知道了“豪密”电台密码，这套密码卓越的安全性让同学们深感兴趣，于是同学们萌生了编制一套“仿豪密”密码规则的想法.
(1)首先，同学们进行初步探索，编制了一种密码规则，即在数字与数字之间建立一种对应关系(如表).
按照这种密码规则，明文“2 025”翻译成密文是“
(2)在初步探索的基础上，同学们编制了一套“仿豪密”密码规则，即在文字与数字之间建立一种对应关系，通过不同的加密方式将明文对应的数字转化为新的数字，然后找出新的数字对应的文字，从而实现文字与文字之间的相互转化. 现设定一组明文及其对应的数字如表所示.
例如，对明文“我”进行翻译：“我”对应数字“196”，若加密方式为“+456”，196+456=652，“652”对应文字“民”，则明文“我”翻译成密文“民”. 请你根据下列指定的加密方式补全下表.
(1)首先，同学们进行初步探索，编制了一种密码规则，即在数字与数字之间建立一种对应关系(如表).
按照这种密码规则，明文“2 025”翻译成密文是“
3 136
”.(2)在初步探索的基础上，同学们编制了一套“仿豪密”密码规则，即在文字与数字之间建立一种对应关系，通过不同的加密方式将明文对应的数字转化为新的数字，然后找出新的数字对应的文字，从而实现文字与文字之间的相互转化. 现设定一组明文及其对应的数字如表所示.
例如，对明文“我”进行翻译：“我”对应数字“196”，若加密方式为“+456”，196+456=652，“652”对应文字“民”，则明文“我”翻译成密文“民”. 请你根据下列指定的加密方式补全下表.
答案
4. 解: (1) 3 136
(2) (从左往右) 爱; 我; 爱; 爱或中
(2) (从左往右) 爱; 我; 爱; 爱或中
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 先根据数字密码对应表找到明文数字转密文数字的规则（每位明文数字加1得到对应密文数字），再把明文“2 025”的每一位数字按规则转换，最后拼接成密文即可。
(2) 解决第二问遵循三步即可：第一步找到待翻译明文对应的原数字，第二步按给定的加密方式对原数字做运算得到新数字，第三步查找新数字对应的文字就是密文；最后一空注意存在两种符合条件的运算结果，对应两个不同的文字。
【解析】
(1) 由密码数字对应规则可知：明文数字n对应密文数字n+1，
对明文“2 025”逐位转换：2→2+1=3，0→0+1=1，2→2+1=3，5→5+1=6，
因此密文为“3 136”。
(2) 按照“明文对应数字→按加密方式运算→得到新数字→匹配对应密文文字”的流程逐个计算：
第一个明文运算后得到的数字对应文字为“爱”，第二个明文运算后得到的数字对应文字为“我”，第三个明文运算后得到的数字对应文字为“爱”，第四个明文有两种符合要求的运算结果，分别对应“爱”和“中”两个文字，因此从左到右依次填写即可。
【答案】
(1) 3 136
(2) 从左往右依次为：爱；我；爱；爱或中
【知识点】
新定义运算，对应转换，逻辑推理
【点评】
本题以趣味密码加密为背景，考查学生提取信息、按规则运算转换的能力，题型新颖贴近生活，能有效锻炼学生的推理能力，解题时只要细心核对对应关系即可得分。
【难度系数】
0.75
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 先根据数字密码对应表找到明文数字转密文数字的规则（每位明文数字加1得到对应密文数字），再把明文“2 025”的每一位数字按规则转换，最后拼接成密文即可。
(2) 解决第二问遵循三步即可：第一步找到待翻译明文对应的原数字，第二步按给定的加密方式对原数字做运算得到新数字，第三步查找新数字对应的文字就是密文；最后一空注意存在两种符合条件的运算结果，对应两个不同的文字。
【解析】
(1) 由密码数字对应规则可知：明文数字n对应密文数字n+1，
对明文“2 025”逐位转换：2→2+1=3，0→0+1=1，2→2+1=3，5→5+1=6，
因此密文为“3 136”。
(2) 按照“明文对应数字→按加密方式运算→得到新数字→匹配对应密文文字”的流程逐个计算：
第一个明文运算后得到的数字对应文字为“爱”，第二个明文运算后得到的数字对应文字为“我”，第三个明文运算后得到的数字对应文字为“爱”，第四个明文有两种符合要求的运算结果，分别对应“爱”和“中”两个文字，因此从左到右依次填写即可。
【答案】
(1) 3 136
(2) 从左往右依次为：爱；我；爱；爱或中
【知识点】
新定义运算，对应转换，逻辑推理
【点评】
本题以趣味密码加密为背景，考查学生提取信息、按规则运算转换的能力，题型新颖贴近生活，能有效锻炼学生的推理能力，解题时只要细心核对对应关系即可得分。
【难度系数】
0.75
