1. 函数$y=a(x-h)^2 +k(a≠0)$的图象相当于$y=ax^2(a≠0)$的图象既进行了平移，又进行了平移。

1. 左右/上下 上下/左右

【分析】
解题时我们可以从二次函数图象平移的本质入手：二次函数图象的平移本质就是顶点的平移，我们只需要对比两个函数的顶点坐标变化，就能判断平移方向。首先回忆两个函数的顶点坐标，$y=ax^2(a≠0)$的顶点是原点$(0,0)$，$y=a(x-h)^2 +k(a≠0)$的顶点是$(h,k)$，顶点横坐标的变化对应水平方向（左右）的平移，纵坐标的变化对应竖直方向（上下）的平移，且两种平移没有先后顺序要求，就能得出答案。
【解析】
1. 首先确定两个二次函数的顶点坐标：
$y=ax^2(a≠0)$的顶点坐标为$(0,0)$，$y=a(x-h)^2 +k(a≠0)$的顶点坐标为$(h,k)$。
2. 分析顶点的位置变化：
顶点从$(0,0)$移动到$(h,k)$，横坐标的变化对应左右方向的平移，纵坐标的变化对应上下方向的平移，两种平移没有固定先后顺序。
因此两个空可依次填写左右、上下，也可交换顺序填写上下、左右。
【答案】
左右/上下 上下/左右
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式的性质
【点评】
本题属于二次函数图象性质的基础考点，主要考查对二次函数平移规律和顶点式对应关系的掌握，难度较低，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律就能快速作答。
【难度系数】
0.9

•练习1 (教材P44习题T6变式)将抛物线$y=2(x-1)^2+1$先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得抛物线对应的函数解析式为().

A.$y=2x^2+1$
B.$y=2(x-2)^2+2$
C.$y=2(x-2)^2$
D.$y=2x^2$
巧学妙记 函数图象平移规律:上加下减常数项,左加右减自变量.

练习1 C

【分析】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题思路如下：首先明确抛物线平移时，开口大小和方向不变，即二次项系数a不变；再牢记平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，先对横坐标的平移进行变换，再对纵坐标的平移进行变换，最后化简得到结果即可。
【解析】
已知原抛物线的函数解析式为$y=2(x-1)^2+1$：
1. 先向右平移1个单位长度，根据“左加右减自变量”的规律，将解析式中的$x$替换为$x-1$，可得：
$y=2[(x-1)-1]^2+1=2(x-2)^2+1$
2. 再向下平移1个单位长度，根据“上加下减常数项”的规律，将整个解析式的常数项减1，可得：
$y=2(x-2)^2+1-1=2(x-2)^2$
因此所得抛物线对应的函数解析式为$y=2(x-2)^2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，核心是对平移规则的理解和应用，注意“左加右减”是针对自变量x本身的变换，不要和顶点的横坐标变化混淆，熟练掌握规律即可快速解答。
【难度系数】
0.8

2.对于抛物线$y=a(x-h)^2 +k$，当$a＞0$时，开口向上；当$a＜0$时，开口向下.对称轴：$x=h$.顶点坐标：$(h,k)$.增减性：当$a＞0$时，对称轴右侧$y$随$x$的增大而，对称轴左侧$y$随$x$的增大而；当$a＜0$时，对称轴右侧$y$随$x$的增大而，对称轴左侧$y$随$x$的增大而.

2. 增大 减小 减小 增大

【分析】
解题时需结合二次函数的开口方向与对称轴的位置分析增减性：首先明确a的正负决定抛物线的开口方向，开口方向决定了顶点是最高点还是最低点，再分别判断对称轴左右两侧y随x的变化规律即可。
【解析】
对于抛物线$y=a(x-h)^2 +k$：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点$(h,k)$是图象的最低点：
对称轴右侧（$x＞h$）：x越大，对应图象上的点位置越高，因此y随x的增大而增大；
对称轴左侧（$x＜h$）：x越大，对应图象上的点位置越低，因此y随x的增大而减小。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点$(h,k)$是图象的最高点：
对称轴右侧（$x＞h$）：x越大，对应图象上的点位置越低，因此y随x的增大而减小；
对称轴左侧（$x＜h$）：x越大，对应图象上的点位置越高，因此y随x的增大而增大。
综上，四个空依次填写增大、减小、减小、增大。
【答案】
增大 减小 减小 增大
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础性质考查题，核心是掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应规律，熟记性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9

·练习2 二次函数$y=2(x-1)^2 -5$的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）。

A.开口向上，对称轴为$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-5)$
B.开口向上，对称轴为$x=1$，顶点坐标为$(1,5)$
C.开口向下，对称轴为$x=1$，顶点坐标为$(1,-5)$
D.开口向上，对称轴为$x=1$，顶点坐标为$(1,-5)$

练习2 D

【分析】
这道题考查二次函数顶点式的图像性质，解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的核心性质：一是由$a$的正负判断开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；二是对称轴为直线$x=h$；三是顶点坐标为$(h,k)$。接下来对应题目给出的函数式，找出$a$、$h$、$k$的取值，再逐一判断选项即可，注意不要把$h$的符号搞反。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-1)^2 -5$，符合顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式：
1. 开口方向：$a=2＞0$，因此开口向上，排除C选项；
2. 对称轴：式中括号内为$x-1$，即$h=1$，因此对称轴为$x=1$，排除A选项；
3. 顶点坐标：$h=1$，$k=-5$，因此顶点坐标为$(1,-5)$，排除B选项；
只有D选项的描述全部符合性质。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数图像特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式基本性质的记忆与应用，易错点是容易误将$h$的符号判断错误，只要熟记顶点式中各参数对应的图像特征，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.85

1.将抛物线$y=2x^2$平移得到抛物线$y=2(x-4)^2+1$，应该().

A.先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度
B.先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度
D.先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度

1. B

【分析】
要解决二次函数平移的问题，首先回忆二次函数图像平移的核心规律“左加右减，上加下减”，我们可以通过两种思路推导：一是对比平移前后两个抛物线的顶点坐标，顶点的平移方向和距离就是抛物线的平移方向和距离；二是直接观察表达式中自变量x和函数整体的变化，对应平移规则判断即可。
【解析】
方法一：对比顶点坐标
抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，顶点坐标为$(h,k)$。
原抛物线$y=2x^2$可写成$y=2(x-0)^2+0$，顶点坐标为$(0,0)$；
平移后抛物线$y=2(x-4)^2+1$的顶点坐标为$(4,1)$。
顶点从$(0,0)$移动到$(4,1)$：横坐标增加了4，说明向右平移4个单位长度；纵坐标增加了1，说明向上平移1个单位长度。
方法二：利用平移规则判断
二次函数平移遵循“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体）”的规则：
将$y=2x^2$的自变量$x$替换为$x-4$，对应“右减”，即向右平移4个单位长度，得到$y=2(x-4)^2$；
再将所得函数整体加1，对应“上加”，即向上平移1个单位长度，得到$y=2(x-4)^2+1$。
综上，平移方式为先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题的核心是熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规则，尤其要注意左右平移是针对自变量x的调整，避免混淆平移方向。
【难度系数】
0.8

2. 对于抛物线 $y=\frac{1}{2}(x+1)^2+3$，下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为 $x=1$；③顶点坐标为 $(-1,3)$；④当 $x＞1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小. 其中正确的结论是().

A.①②
B.①③
C.①③④
D.①②③④

2. B

【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题思路如下：首先回忆顶点式各参数的意义：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向判断函数的增减性，最后逐一验证4个结论的正误即可。
【解析】
对于抛物线$y=\frac{1}{2}(x+1)^2+3$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得$a=\frac{1}{2}$，$h=-1$，$k=3$：
1. 判断结论①：$\because a=\frac{1}{2}＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，①正确；
2. 判断结论②：抛物线对称轴为直线$x=h=-1$，不是$x=1$，②错误；
3. 判断结论③：抛物线顶点坐标为$(h,k)=(-1,3)$，③正确；
4. 判断结论④：$\because$抛物线开口向上，对称轴为$x=-1$，$\therefore$当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大，因此$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，④错误。
综上，正确的结论为①③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，解题核心是准确掌握顶点式中参数$h$的符号与对称轴的对应关系，避免因符号混淆判断错对称轴，进而选错增减性相关的结论。
【难度系数】
0.8

3.已知抛物线$y=-3(x-2)^2+5$，若$-1≤ x≤1$，则下列说法正确的是（）。

A.当$x=2$时，$y$有最大值5
B.当$x=-1$时，$y$有最小值$-22$
C.当$x=-1$时，$y$有最大值32
D.当$x=1$时，$y$有最小值2

3. B

【分析】
首先回忆顶点式二次函数$y=a(x-h)^2+k$的基本性质：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。本题先确定抛物线的开口方向、对称轴，再判断给定的自变量取值范围$-1≤x≤1$在对称轴的哪一侧，结合函数增减性确定该区间内的最值，最后逐一验证选项即可。
【解析】
对于抛物线$y=-3(x-2)^2+5$：
1. 确定基本性质
$\because a=-3＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,5)$，且在对称轴左侧（即$x＜2$时），$y$随$x$的增大而增大。
2. 结合自变量范围分析
已知$-1≤x≤1$，该范围全部在对称轴$x=2$的左侧，因此在该区间内$y$随$x$的增大而增大，可得：当$x=-1$时，$y$取最小值；当$x=1$时，$y$取最大值。
3. 代入计算并判断选项
当$x=-1$时，$y=-3×(-1-2)^2+5=-22$；当$x=1$时，$y=-3×(1-2)^2+5=2$。
A选项：$x=2$不在$-1≤x≤1$范围内，错误；
B选项：当$x=-1$时，$y$有最小值$-22$，正确；
C选项：$x=-1$时$y$为最小值，且值为$-22$不是$32$，错误；
D选项：$x=1$时$y$为最大值$2$，不是最小值，错误。
【答案】
B
【知识点】
顶点式二次函数性质、二次函数增减性、二次函数区间最值
【点评】
本题考查顶点式二次函数的性质应用，解题易错点是忽略自变量的取值范围，直接将顶点处的最值当作给定区间的最值，需先判断区间和对称轴的位置关系，结合增减性求最值。
【难度系数】
0.7