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7 [中]如图,在△ABC中,∠A=52°,∠ABC与∠ACB的平分线交于点D₁,∠ABD₁与∠ACD₁的平分线交于点D₂,…,依次类推,∠ABD₃与∠ACD₃的平分线交于点D₄,则∠BD₄C的度数是
60°
.答案
7. $60^{\circ}$ [解析]因为$∠ A=52^{\circ}$,$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$D_1$,所以$∠ ABC+∠ ACB=128^{\circ}$,$∠ CBD_1=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ BCD_1=\frac{1}{2}∠ ACB$,所以$∠ CBD_1+∠ BCD_1=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=64^{\circ}$,即$∠ ABD_1+∠ ACD_1=64^{\circ}$,所以$∠ D_1=116^{\circ}$.因为$∠ ABD_1$与$∠ ACD_1$的平分线交于点$D_2$,所以$∠ D_2BD_1+∠ D_2CD_1=\frac{1}{2}(∠ ABD_1+∠ ACD_1)=32^{\circ}$,所以$∠ CBD_2+∠ BCD_2=∠ D_1BD_2+∠ D_1BC+∠ D_2CD_1+∠ D_1CB=96^{\circ}$,所以$∠ D_2=84^{\circ}$.同理可得$∠ D_3=68^{\circ}$,$∠ D_4=60^{\circ}$.故答案为$60^{\circ}$.
8 [中]如图,△ABC的角平分线BD,CE相交于点F.
(1)若∠A=54°,∠ABC=50°,求∠CFD的度数;
(2)证明:2∠BFC=∠A+180°.
(1)若∠A=54°,∠ABC=50°,求∠CFD的度数;
(2)证明:2∠BFC=∠A+180°.
答案
8. (1)[解]因为$∠ A=54^{\circ}$,$∠ ABC=50^{\circ}$,$∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180^{\circ}$,所以$∠ ACB=180^{\circ}-50^{\circ}-54^{\circ}=76^{\circ}$.因为$△ ABC$的角平分线BD,CE相交于点F,所以$∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABC=25^{\circ}$,$∠ BCF=\frac{1}{2}∠ ACB=38^{\circ}$,所以$∠ BFC=180^{\circ}-∠ CBF-∠ BCF=180^{\circ}-25^{\circ}-38^{\circ}=117^{\circ}$,所以$∠ CFD=180^{\circ}-117^{\circ}=63^{\circ}$.
(2)[证明]因为$△ ABC$的角平分线BD,CE相交于点F,所以$∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ BCF=\frac{1}{2}∠ ACB$,所以$∠ BFC=180^{\circ}-∠ CBF-∠ BCF=180^{\circ}-\frac{1}{2}∠ ABC-\frac{1}{2}∠ ACB=180^{\circ}-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$.因为$∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180^{\circ}$,所以$∠ ABC+∠ ACB=180^{\circ}-∠ A$,所以$∠ BFC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠ A)=90^{\circ}+\frac{1}{2}∠ A$,即$2∠ BFC=∠ A+180^{\circ}$.
(2)[证明]因为$△ ABC$的角平分线BD,CE相交于点F,所以$∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ BCF=\frac{1}{2}∠ ACB$,所以$∠ BFC=180^{\circ}-∠ CBF-∠ BCF=180^{\circ}-\frac{1}{2}∠ ABC-\frac{1}{2}∠ ACB=180^{\circ}-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$.因为$∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180^{\circ}$,所以$∠ ABC+∠ ACB=180^{\circ}-∠ A$,所以$∠ BFC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠ A)=90^{\circ}+\frac{1}{2}∠ A$,即$2∠ BFC=∠ A+180^{\circ}$.
9 [较难]如图,在△ABC中,∠A=α,∠ABC的平分线与△ACB的外角(∠ACD)的平分线交于点A₁;∠A₁BC的平分线与△A₁CB的外角(∠A₁CD)的平分线交于点A₂,…,以此类推,则∠A₂₀₂₂=
$\frac{1}{2^{2022}}α$
.(用含α的式子表示)答案
9. $\frac{1}{2^{2022}}α$ [解析]因为$∠ ACD=180^{\circ}-∠ ACB$,$∠ ABC$的平分线与$△ ACB$的外角$(∠ ACD)$的平分线交于点$A_1$,所以$∠ A_1=180^{\circ}-(∠ A_1BC+∠ ACB+∠ ACA_1)=180^{\circ}-\frac{1}{2}∠ ABC-∠ ACB-\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠ ACB)=90^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠ A)=\frac{1}{2}∠ A$.同理可得$∠ A_2=\frac{1}{2}∠ A_1=\frac{1}{2^2}∠ A$,$∠ A_3=\frac{1}{2}∠ A_2=\frac{1}{2^3}∠ A$,$···$,所以$∠ A_{2022}=\frac{1}{2^{2022}}∠ A$.因为$∠ A=α$,所以$∠ A_{2022}=\frac{1}{2^{2022}}α$.故答案为$\frac{1}{2^{2022}}α$.
10 [2025广东湛江校级期中,中]在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.
(1)如图(1),若∠BPC=α,则∠A=
(2)如图(2),作△ABC外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q,试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系,并说明理由.
(1)如图(1),若∠BPC=α,则∠A=
$2α-180^{\circ}$
;(用含α的代数式表示)(2)如图(2),作△ABC外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q,试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系,并说明理由.
答案
10. [解](1)因为BP,CP分别平分$∠ ABC$与$∠ ACB$,所以$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB$.因为$∠ BPC=180^{\circ}-(∠ PBC+∠ PCB)$,所以$∠ BPC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$,所以$∠ BPC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠ A)=90^{\circ}+\frac{1}{2}∠ A$.因为$∠ BPC=α$,所以$∠ A=2α-180^{\circ}$.故答案为$2α-180^{\circ}$.
(2)$∠ BPC+∠ Q=180^{\circ}$.理由:因为BQ,CQ分别平分$∠ MBC$,$∠ NCB$,所以$∠ QBC=\frac{1}{2}∠ CBM$,$∠ BCQ=\frac{1}{2}∠ BCN$,所以$∠ QBC+∠ QCB=\frac{1}{2}(∠ CBM+∠ BCN)$,所以$∠ QBC+∠ QCB=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ACB+∠ A+∠ ABC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}+∠ A)$,所以$∠ QBC+∠ QCB=90^{\circ}+\frac{1}{2}∠ A$,所以$∠ Q=180^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{1}{2}∠ A)=90^{\circ}-\frac{1}{2}∠ A$.由(1)知$∠ BPC=90^{\circ}+\frac{1}{2}∠ A$,所以$∠ BPC+∠ Q=180^{\circ}$.
(2)$∠ BPC+∠ Q=180^{\circ}$.理由:因为BQ,CQ分别平分$∠ MBC$,$∠ NCB$,所以$∠ QBC=\frac{1}{2}∠ CBM$,$∠ BCQ=\frac{1}{2}∠ BCN$,所以$∠ QBC+∠ QCB=\frac{1}{2}(∠ CBM+∠ BCN)$,所以$∠ QBC+∠ QCB=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ACB+∠ A+∠ ABC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}+∠ A)$,所以$∠ QBC+∠ QCB=90^{\circ}+\frac{1}{2}∠ A$,所以$∠ Q=180^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{1}{2}∠ A)=90^{\circ}-\frac{1}{2}∠ A$.由(1)知$∠ BPC=90^{\circ}+\frac{1}{2}∠ A$,所以$∠ BPC+∠ Q=180^{\circ}$.
11 [2024河南周口期末,中]如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,CF⊥AB于点F,AD⊥BC于点D,AD与CF交于点E,∠B=46°.
(1)求∠AEC的度数.
(2)若AD=6,求CF的长.
(1)求∠AEC的度数.
(2)若AD=6,求CF的长.
答案
11. [解](1)因为$CF⊥ AB$,所以$∠ CFB=90^{\circ}$.因为$∠ B=46^{\circ}$,所以$∠ BCF=44^{\circ}$.因为$AD⊥ BC$,所以$∠ ADC=90^{\circ}$,所以$∠ AEC=∠ ADC+∠ BCF=90^{\circ}+44^{\circ}=134^{\circ}$.
(2)因为$CF⊥ AB$,$AD⊥ BC$,所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=\frac{1}{2}· AB· CF$.因为$AB=8$,$BC=10$,$AD=6$,所以$CF=\frac{AD· BC}{AB}=\frac{6×10}{8}=\frac{15}{2}$.
(2)因为$CF⊥ AB$,$AD⊥ BC$,所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=\frac{1}{2}· AB· CF$.因为$AB=8$,$BC=10$,$AD=6$,所以$CF=\frac{AD· BC}{AB}=\frac{6×10}{8}=\frac{15}{2}$.
