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12. 中考新考法 证明一般结论 如果$x^{n}=y$,那么我们规定$(x,y)=n$.例如:因为$3^{2}=9$,所以$(3,9)=2$.
(1)根据上述规定,填空:$(2,8)=$
(2)记$(4,4)=a$,$(4,16)=b$,$(4,64)=c$. 试说明:$a+b=c$.
(1)根据上述规定,填空:$(2,8)=$
3
,$(3,81)=$4
;(2)记$(4,4)=a$,$(4,16)=b$,$(4,64)=c$. 试说明:$a+b=c$.
答案
(1)3 4 [解析]$2^{3}=8$,$3^{4}=81$.(2)因为$(4,4)=a$,$(4,16)=b$,$(4,64)=c$,所以$4^{a}=4$,$4^{b}=16$,$4^{c}=64$,所以$a=1$,$b=2$,$c=3$,所以$a+b=c.$
解析
【分析】首先明确题目规定的新运算含义：若$(x,y)=n$，则$x^n=y$。第(1)问需找到满足$x^n=y$的$n$值；第(2)问先根据新运算求出$a$、$b$、$c$的值，再验证$a+b=c$。
【解析】
(1) 根据规定，因为$2^3=8$，所以$(2,8)=3$；又因为$3^4=81$，所以$(3,81)=4$。
(2) 由规定可知：$(4,4)=a$即$4^a=4$，解得$a=1$；$(4,16)=b$即$4^b=16$，解得$b=2$；$(4,64)=c$即$4^c=64$，解得$c=3$。因此$a+b=1+2=3=c$，故$a+b=c$。
【答案】(1)3，4；(2)证明成立，$a+b=c$
【知识点】新定义运算，幂的运算
【点评】本题为中考新考法，通过定义新运算考查幂的基本运算，关键是准确理解新运算规则，难度较低，适合基础学生掌握。
【难度系数】0.7
【解析】
(1) 根据规定，因为$2^3=8$，所以$(2,8)=3$；又因为$3^4=81$，所以$(3,81)=4$。
(2) 由规定可知：$(4,4)=a$即$4^a=4$，解得$a=1$；$(4,16)=b$即$4^b=16$，解得$b=2$；$(4,64)=c$即$4^c=64$，解得$c=3$。因此$a+b=1+2=3=c$，故$a+b=c$。
【答案】(1)3，4；(2)证明成立，$a+b=c$
【知识点】新定义运算，幂的运算
【点评】本题为中考新考法，通过定义新运算考查幂的基本运算，关键是准确理解新运算规则，难度较低，适合基础学生掌握。
【难度系数】0.7
13. 观察下列两组算式：
①$2^{2}×3^{2}$与$(2×3)^{2}$；
(1)每组两个算式的结果是否相等？
(2)根据(1)的结果猜想$a^{n}b^{n}$等于什么？
(3)用(2)的结论计算$(\dfrac{1}{5})^{2\,025}×(-5)^{2\,025}.$
①$2^{2}×3^{2}$与$(2×3)^{2}$；
(1)每组两个算式的结果是否相等？
(2)根据(1)的结果猜想$a^{n}b^{n}$等于什么？
(3)用(2)的结论计算$(\dfrac{1}{5})^{2\,025}×(-5)^{2\,025}.$
答案
(1)因为$2^{2}×3^{2}=4×9=36$,$(2×3)^{2}=6^{2}=36$,$(-\dfrac{1}{2})^{2}×2^{2}=\dfrac{1}{4}×4=1$,$[(-\dfrac{1}{2})×2]^{2}=(-1)^{2}=1$,所以每组两个算式的计算结果是相等的.(2)根据(1)的结果,得$a^{n}b^{n}=(ab)^{n}$.(3)$(\dfrac{1}{5})^{2025}×(-5)^{2025}=[\dfrac{1}{5}×(-5)]^{2025}=(-1)^{2025}=-1.$
解析
【分析】
要解决本题，需分三步进行：第一步，分别计算每组两个算式的结果，对比结果是否相等，以此验证规律；第二步，根据相等的结果，归纳猜想出$a^n b^n$的运算规律；第三步，运用猜想的规律计算指定的算式。计算时需注意运算顺序，先算乘方再算乘法，或先算括号内的乘法再算乘方，对比两种运算的结果，进而总结规律并应用。
【解析】
(1) 计算每组算式的结果：
对于第一组：$2^2×3^2 = 4×9 = 36$，$(2×3)^2 = 6^2 = 36$，因此$2^2×3^2 = (2×3)^2$；
对于第二组：$(-\frac{1}{2})^2×2^2 = \frac{1}{4}×4 = 1$，$[(-\frac{1}{2})×2]^2 = (-1)^2 = 1$，因此$(-\frac{1}{2})^2×2^2 = [(-\frac{1}{2})×2]^2$；
故每组两个算式的计算结果相等。
(2) 根据(1)中每组算式的结果，可猜想：当n为正整数时，$a^n b^n = (ab)^n$。
(3) 利用(2)的结论计算：
$(\frac{1}{5})^{2025}×(-5)^{2025} = [\frac{1}{5}×(-5)]^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。
【答案】
(1) 每组两个算式的计算结果相等；(2) $a^n b^n=(ab)^n$；(3) $-1$。
【知识点】
积的乘方运算性质，有理数的乘方运算
【点评】
本题通过具体实例引导学生归纳积的乘方的运算规律，考查了学生的观察、归纳与应用能力，是基础运算题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需分三步进行：第一步，分别计算每组两个算式的结果，对比结果是否相等，以此验证规律；第二步，根据相等的结果，归纳猜想出$a^n b^n$的运算规律；第三步，运用猜想的规律计算指定的算式。计算时需注意运算顺序，先算乘方再算乘法，或先算括号内的乘法再算乘方，对比两种运算的结果，进而总结规律并应用。
【解析】
(1) 计算每组算式的结果：
对于第一组：$2^2×3^2 = 4×9 = 36$，$(2×3)^2 = 6^2 = 36$，因此$2^2×3^2 = (2×3)^2$；
对于第二组：$(-\frac{1}{2})^2×2^2 = \frac{1}{4}×4 = 1$，$[(-\frac{1}{2})×2]^2 = (-1)^2 = 1$，因此$(-\frac{1}{2})^2×2^2 = [(-\frac{1}{2})×2]^2$；
故每组两个算式的计算结果相等。
(2) 根据(1)中每组算式的结果，可猜想：当n为正整数时，$a^n b^n = (ab)^n$。
(3) 利用(2)的结论计算：
$(\frac{1}{5})^{2025}×(-5)^{2025} = [\frac{1}{5}×(-5)]^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。
【答案】
(1) 每组两个算式的计算结果相等；(2) $a^n b^n=(ab)^n$；(3) $-1$。
【知识点】
积的乘方运算性质，有理数的乘方运算
【点评】
本题通过具体实例引导学生归纳积的乘方的运算规律，考查了学生的观察、归纳与应用能力，是基础运算题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
14. 已知小东的身高为1.62 m，一张纸的厚度约为0.09 mm.
(1)请通过计算说明小东的身高是纸的厚度的多少倍.
(2)若将这张纸连续对折5次，这时它的厚度是多少？
(3)假设连续对折始终是可能的，那么对折多少次后，所得的厚度可以超过小东的身高？
(提示:$2^{13}=8\ 192,2^{14}=16\ 384,2^{15}=32\ 768,$$2^{16}=65\ 536$)
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精题详解
(1)请通过计算说明小东的身高是纸的厚度的多少倍.
(2)若将这张纸连续对折5次，这时它的厚度是多少？
(3)假设连续对折始终是可能的，那么对折多少次后，所得的厚度可以超过小东的身高？
(提示:$2^{13}=8\ 192,2^{14}=16\ 384,2^{15}=32\ 768,$$2^{16}=65\ 536$)
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精题详解
答案
(1)$\because 1.62\ \mathrm{m}=1\ 620\ \mathrm{mm}$,$\therefore$小东的身高是纸的厚度的$1\ 620÷0.09=18\ 000$(倍).(2)连续对折五次,纸张的厚度是$0.09×2^{5}=2.88(\mathrm{mm})$.(3)$\because 2^{14}=16\ 384＜18\ 000$,$2^{15}=32\ 768＞18\ 000$,$\therefore$至少对折15次后,所得的厚度可以超过小东的身高.
解析
【分析】
本题分三小问，解题思路如下：(1) 首先需统一长度单位，将小东的身高从米换算为毫米，再用身高除以纸的厚度即可得到倍数；(2) 纸张每对折1次，厚度变为原来的2倍，对折n次后厚度为原厚度的2ⁿ倍，据此计算对折5次的厚度；(3) 设对折k次后厚度超过小东身高，列出不等式，结合提示的2的幂次找到满足条件的最小k值。
【解析】
(1) 单位换算：因为1m=1000mm，所以1.62m=1.62×1000=1620mm。小东身高是纸厚度的倍数为：1620÷0.09=18000（倍）。
(2) 对折5次后，纸张厚度是原厚度的2⁵倍，所以厚度为：0.09×2⁵=0.09×32=2.88（mm）。
(3) 设对折k次后厚度超过小东身高，可列不等式：0.09×2ᵏ＞1620，化简得2ᵏ＞18000。根据提示：2¹⁴=16384＜18000，2¹⁵=32768＞18000，因此至少对折15次后，厚度可超过小东身高。
【答案】
(1)18000倍；(2)2.88mm；(3)15次
【知识点】
长度单位换算、有理数乘方的应用
【点评】
本题结合实际场景考查单位换算与乘方运算，核心是掌握对折后厚度的变化规律，需注意单位统一，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6
本题分三小问，解题思路如下：(1) 首先需统一长度单位，将小东的身高从米换算为毫米，再用身高除以纸的厚度即可得到倍数；(2) 纸张每对折1次，厚度变为原来的2倍，对折n次后厚度为原厚度的2ⁿ倍，据此计算对折5次的厚度；(3) 设对折k次后厚度超过小东身高，列出不等式，结合提示的2的幂次找到满足条件的最小k值。
【解析】
(1) 单位换算：因为1m=1000mm，所以1.62m=1.62×1000=1620mm。小东身高是纸厚度的倍数为：1620÷0.09=18000（倍）。
(2) 对折5次后，纸张厚度是原厚度的2⁵倍，所以厚度为：0.09×2⁵=0.09×32=2.88（mm）。
(3) 设对折k次后厚度超过小东身高，可列不等式：0.09×2ᵏ＞1620，化简得2ᵏ＞18000。根据提示：2¹⁴=16384＜18000，2¹⁵=32768＞18000，因此至少对折15次后，厚度可超过小东身高。
【答案】
(1)18000倍；(2)2.88mm；(3)15次
【知识点】
长度单位换算、有理数乘方的应用
【点评】
本题结合实际场景考查单位换算与乘方运算，核心是掌握对折后厚度的变化规律，需注意单位统一，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6
15. 中考新考法 新定义运算 （2024·甘肃中考）定义一种新运算 $*$ ,规定运算法则为: $m * n = m^{n} - mn$($m , n$ 均为整数, 且 $m ≠ 0$). 例: $2 * 3 = 2^{3} - 2 × 3 = 2$, 则 $(-2) * 2 = $
8
.答案
8 [解析]$\because m * n = m^{n} - mn$,$\therefore (-2) * 2 = (-2)^{2} - (-2)×2 = 4 + 4 = 8.$
解析
【分析】
本题是新定义运算题，解题思路为：先明确新运算的规则，即$m*n = m^n - mn$；再确定所求式子中对应的$m$和$n$的值，将其代入规则中，按照有理数的运算法则（尤其是符号运算）进行计算，即可得到结果。
【解析】
根据新运算规则$m * n = m^{n} - mn$，在$(-2) * 2$中，$m = -2$，$n = 2$，代入计算：
$\begin{aligned}(-2) * 2&= (-2)^2 - (-2)×2\\&= 4 - (-4)\\&= 4 + 4\\&= 8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
新定义运算、有理数的混合运算
【点评】
本题为中考新考法的新定义运算题，核心考查对新运算规则的理解与有理数的基本运算，难度较低，只要准确代入规则并注意符号处理即可完成计算。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算题，解题思路为：先明确新运算的规则，即$m*n = m^n - mn$；再确定所求式子中对应的$m$和$n$的值，将其代入规则中，按照有理数的运算法则（尤其是符号运算）进行计算，即可得到结果。
【解析】
根据新运算规则$m * n = m^{n} - mn$，在$(-2) * 2$中，$m = -2$，$n = 2$，代入计算：
$\begin{aligned}(-2) * 2&= (-2)^2 - (-2)×2\\&= 4 - (-4)\\&= 4 + 4\\&= 8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
新定义运算、有理数的混合运算
【点评】
本题为中考新考法的新定义运算题，核心考查对新运算规则的理解与有理数的基本运算，难度较低，只要准确代入规则并注意符号处理即可完成计算。
【难度系数】
0.7
