15.(2025·扬州江都区邵樊片期中)我们规定关于 $x$ 的一元一次方程 $ax=b$ 的解为 $x=b-a$,则称该方程是“差解方程”,例如: $3x=4.5$ 的解为 $x=4.5-3=1.5$,则该方程 $3x=4.5$ 就是“差解方程”,请根据上述规定解答下列问题：
[定义理解]
(1)判断:方程 $2x=4$ 差解方程;(填“是”或“不是”)
(2)若关于 $x$ 的一元一次方程 $4x=m$ 是“差解方程”,求 $m$ 的值;
[知识应用]
(3)已知关于 $x$ 的一元一次方程 $4x=ab+a$ 是“差解方程”,则 $3(ab+a)=$ ;
(4)已知关于 $x$ 的一元一次方程 $4x=mn+m$ 和 $-2x=mn+n$ 都是“差解方程”,求代数式 $3(mn+m)-9(mn+n)^2$ 的值.

(1)是 [解析]
∵方程2x=4的解为x=2=4-2,
∴方程2x=4是差解方程.
(2)由题意可知x=m-4,由一元一次方程可知$x=\frac{m}{4}$,
∴$m-4=\frac{m}{4}$,解得$m=\frac{16}{3}$.
(3)16 [解析]
∵方程4x=ab+a是“差解方程”,
∴x=ab+a-4.
解方程4x=ab+a,得$x=\frac{ab+a}{4}$,
∴$ab+a-4=\frac{ab+a}{4}$,
∴3ab+3a=16,即3(ab+a)=16.
(4)
∵一元一次方程4x=mn+m是“差解方程”,
∴x=mn+m-4.
解一元一次方程4x=mn+m得$x=\frac{mn+m}{4}$,
∴$mn+m-4=\frac{mn+m}{4}$,
整理得3(mn+m)=16.
∵一元一次方程-2x=mn+n是“差解方程”,
∴x=mn+n+2,
解一元一次方程-2x=mn+n得$x=-\frac{mn+n}{2}$.
∴$mn+n+2=-\frac{mn+n}{2}$,
整理得$9(mn+n)^2=16$,
∴3(mn+m)-9(mn+n)^2
=16-16
=0.

16. (2025·南通启东长江中学月考)[阅读理解]
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题.
例如: 如图(1), 已知 $A B / / C D$, 点 $E, F$ 分别在直线 $A B, C D$ 上, 点 $P$ 在直线 $A B, C D$ 之间. 设 $∠ A E P=∠ α, ∠ C F P=∠ β$. 求证:
$∠ P=∠ α+∠ β.$
证明: 如图(2), 过点 $P$ 作 $P Q / / A B, \therefore ∠ E P Q=$ $∠ A E P=∠ α,$
$\because P Q / / A B, A B / / C D, \therefore P Q / / C D,$
$\therefore ∠ F P Q=∠ C F P=∠ β.$
$\therefore ∠ E P F=∠ E P Q+∠ F P Q=∠ α+∠ β$, 即 $∠ E P F=∠ α+∠ β.$
可以运用以上结论解答下列问题:
[类比应用]
(1) 如图(3), 已知 $A B / / C D, ∠ D=15°$, $∠ G A B=70°$, 求 $∠ P$ 的度数.
(2) 如图(4), 已知 $A B / / C D$, 点 $E$ 在直线 $C D$ 上, 点 $P$ 在直线 $A B$ 上方, 连接 $P A, P E$, 则 $∠ P A B, ∠ C E P, ∠ A P E$ 之间有何数量关系? 请说明理由.
[拓展应用]
(3) 如图(5), 已知 $A B / / C D$, 点 $E$ 在直线 $C D$ 上, 点 $P$ 在直线 $A B$ 上方, 连接 $P A, P E$, $∠ P E D$ 的平分线与 $∠ P A B$ 的平分线所在直线交于点 $Q$, 求 $∠ A P E+2 ∠ A Q E$ 的值.

获得是一种阻险邪恶的聪明 --培根
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(1)如图(1),延长BA至点H,
∵AB//CD,
∴∠APD=∠HAP+∠D,
∵ ∠HAP = ∠GAB, ∠GAB=70°,
∴∠HAP=70°.
∵∠D=15°,
∴∠APD=85°.

(2)$∠CEP+∠PAB-∠APE=180°$,理由如下:
如图(2),过点P作PM//AB,
∵AB//CD,
∴AB//CD//PM,
∴∠MPE=∠CEP,
∠MPA+∠PAB=180°,
∴∠MPE-∠MPA-∠PAB=∠CEP-180°,
即∠APE-∠PAB=∠CEP-180°,
∴$∠CEP+∠PAB-∠APE=180°$.

(3)由示例知,
∵AB//CD,
∴∠AQE=∠BAQ+∠DEQ,
∴2∠AQE=2∠BAQ+2∠DEQ=2(180°-∠BAF)+2∠DEQ.
∵QE,AF分别是∠PED与∠PAB的平分线,
∴2∠BAF=∠PAB,
2∠DEQ=∠PED,
∴2∠AQE=360°-∠PAB+∠PED.由(2)知∠CEP+∠PAB-∠APE=180°,
∴∠APE=∠CEP+∠PAB-180°,
∴2∠AQE+∠APE=360°-∠PAB+∠PED+∠CEP+∠PAB-180°=180°+180°=360°,
即$2∠AQE+∠APE=360°$.