1[中]如图,点C是线段AB上的一点,且AC＜BC,M和N分别是AB和BC的中点,已知AC=10,NB=7,则线段MN的长度是 ()


A.3
B.3.5
C.4
D.5

【解析】因为N是BC的中点,所以BN=CN,所以AB=AC+2BN=10+14=24. 因为M是AB的中点,所以BM=$\frac{1}{2}AB$=12,所以MN=BM-BN=12-7=5,故选D.

2[较难]如图,点 C 在线段 AB 上,点 M,N 分别是 AC,BC 的中点.
(1)若 AC = 9 cm,CB = 6 cm,求线段 MN 的长度.
(2)若 C 为线段 AB 上任一点,满足 AC+CB = a cm,你能猜想出 MN 的长度吗? 请说明理由.
(3)若 C 在线段 AB 的延长线上,且满足 AC-BC=b cm,M,N 分别为 AC,BC 的中点,你能猜想出 MN 的长度吗? 请画出图形,写出你的结论,并说明理由.

(1)因为AC=9 cm,点M是AC的中点,
所以$CM=\frac{1}{2}AC=4.5$ cm.
因为BC=6 cm,点N是BC的中点,所以$CN=\frac{1}{2}BC=3$ cm,所以MN=CM+CN=7.5 cm,所以线段MN的长度为7.5 cm.
(2)$MN=\frac{1}{2}a$ cm. 理由:因为C为线段AB上一点,且M,N分别是AC,BC的中点,
所以$MN=MC+CN=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}a$ cm.
(3)能.当点C在线段AB的延长线上时,如,$MN=\frac{1}{2}b$ cm.
理由:因为M是AC的中点,所以$CM=\frac{1}{2}AC$.
因为点N是BC的中点,所以$CN=\frac{1}{2}BC$,所以$MN=CM-CN=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}b$ cm.

3[2025江苏徐州期末,较难]小明在学习了比较线段的长短后对下面一道题产生了探究的兴趣:
如图(1),点C在线段AB上,M,N分别是AC,BC的中点.若AB=12,AC=8,求MN的长.

(1)根据题意,小明求得$MN=$.
(2)小明在求解(1)的过程中,发现MN的长度具有一个特殊性质,于是他将题中的条件一般化,并开始深入探究.
设$AB=a$,C是线段AB上任意一点(不与点A,B重合),小明提出了如下三个问题,请你帮助小明解答.
①如图(1),M,N分别是AC,BC的中点,则$MN=$;
②如图(2),M,N分别是AC,BC的三等分点,即$AM=\frac{1}{3}AC$,$BN=\frac{1}{3}BC$,求MN的长;

③若M,N分别是AC,BC的n等分点,即$AM=\frac{1}{n}AC$,$BN=\frac{1}{n}BC$,则$MN=$.

(1)因为AB=12,AC=8,
所以BC=AB-AC=4.
因为点M,N分别是AC,BC的中点,
所以$CM=\frac{1}{2}AC=4$,$CN=\frac{1}{2}BC=2$,
所以MN=CM+CN=6.
(2)①因为M,N分别是AC,BC的中点,所以$CM=\frac{1}{2}AC$,$CN=\frac{1}{2}BC$,所以$MN=CM+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$. 因为AB=a,所以$MN=\frac{1}{2}a$.
② 因为$AM=\frac{1}{3}AC$,$BN=\frac{1}{3}BC$,
所以$CM=\frac{2}{3}AC$,$CN=\frac{2}{3}BC$,
所以$MN=CM+CN=\frac{2}{3}AC+\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}AB$.
因为AB=a,所以$MN=\frac{2}{3}a$.
③ 因为$AM=\frac{1}{n}AC$,$BN=\frac{1}{n}BC$,
所以$CM=\frac{n-1}{n}AC$,$CN=\frac{n-1}{n}BC$,
所以$MN=CM+CN=\frac{n-1}{n}AC+\frac{n-1}{n}BC=\frac{n-1}{n}AB$.
因为AB=a,所以$MN=\frac{n-1}{n}a$.

4[2025江苏无锡期末,中]如图,点A,B,C在同一直线上,H为AC的中点,M为AB的中点,N为BC的中点,则下列说法:①$MN=HC$;②$MN=\frac{1}{2}(AC+HB)$;③$MH=\frac{1}{2}(AH-HB)$;④$HN=\frac{1}{2}(HC+HB)$,其中正确的是 ()


A.①③
B.②④
C.①④
D.①③④

【解析】因为H为AC的中点,M为AB的中点,N为BC的中点,所以$MN=\frac{1}{2}AC=HC$,①正确,②错误;$MH=MN-HN=\frac{1}{2}AC-(HC-CN)=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AC-AB)=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(HC-HB)=\frac{1}{2}(AH-HB)$,③正确;$HN=HC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AH+HB)=\frac{1}{2}(HC+HB)$,④正确. 所以①③④正确. 故选D.