3.(真题·宁波江北)我国著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形。数学兴趣小组的小伙伴们尝试用两对全等的直角三角形与一个矩形拼出了一个平行四边形。

(1)如图 1,M 是 AB 的中点,若 $ME=DG,AB=6$,求 CG 的长。
(2)如图 2,M 是 AB 的中点,连结 HF,EG 交于点 O,连结 OM。
①求证:$OM// AD$;
②如图 3,若 $AH=HE$,取 AD 的中点 N,连结 ON,NG,MH,若 $S_{△ NOG}=3S_{△ MOH}$,求$\frac{HG}{DG}$的值。

(1)因为$△ABE$是直角三角形,$M$是$AB$中点,所以$ME=\frac{1}{2}AB=3$,所以$DG=ME=3$,因为四边形$ABCD$为平行四边形,所以$CD=AB=6$,所以在$\mathrm{Rt}△CDG$中,$CG=\sqrt{CD^2-DG^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。
(2)①连结$OB,OD$,由题意可知,四边形$EFGH$是矩形,所以$HD// FB$,$OE=OG$,所以$∠BEO=∠DGO$,由题意可知$\mathrm{Rt}△AEB≌\mathrm{Rt}△CGD$,所以$BE=DG$,所以$△BOE≌△DOG(\mathrm{SAS})$,所以$∠BOE=∠DOG$,$OB=OD$,所以$B,O,D$三点共线,因为$M$是$AB$中点,所以$OM$是$△ABD$的中位线,所以$OM// AD$。
②因为$AH=HE$,$M$是$AB$中点,所以$MH$是$△ABE$的中位线,所以$MH// BE$,$BE=2MH$,设$ON$与$MD$交于点$K$,作$△MOH$的高$h_1$,$△NKG$的高$h_2$,因为$N$是$AD$的中点,所以$DN=\frac{1}{2}AD$,由①知:$OM$是$△ABD$的中位线,所以$OM=\frac{1}{2}AD$,$OM=DN$,因为$OM// AD$,所以$∠NDK=∠OMK$,因为$∠NKD=∠OKM$,所以$△NDK≌△OMK(\mathrm{AAS})$,所以$DK=MK$,所以$h_1=h_2$,因为$S_{△ MOH}=\frac{1}{2}MH·h_1$,$S_{△ NOG}=\frac{1}{2}KG·(h_1+h_2)$,又因为$S_{△ NOG}=3S_{△ MOH}$,所以$\frac{MH}{KG}=\frac{2}{3}$。设$MH=2x$,$KG=3x$,则$BE=DG=2MH=4x$,所以$KD=KM=7x$,所以$HK=5x$,所以$HG=8x$,所以$\frac{HG}{DG}=\frac{8x}{4x}=2$。

【分析】
本题为几何综合题，解题思路如下：
(1) 利用直角三角形斜边中线的性质求出ME，结合已知ME=DG得DG，再由平行四边形对边相等得CD=AB，最后在Rt△CDG中用勾股定理计算CG；
(2) ① 先证四边形EFGH是矩形得OE=OG，再通过全等三角形证明O是BD中点，结合M是AB中点，利用三角形中位线定理证OM//AD；
② 利用AH=HE得MH是△ABE的中位线，结合中点性质证△NDK≌△OMK得到高相等，再根据面积关系推出线段比例，最后设未知数结合线段关系计算HG与DG的比值。
【解析】
(1)
∵△ABE是直角三角形，M是AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得ME=½AB=½×6=3。
又
∵ME=DG，
∴DG=3。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6。
在Rt△CDG中，由勾股定理得CG=√(CD²-DG²)=√(6²-3²)=3√3。
(2) ① 连结OB、OD。
由题意知四边形EFGH是矩形，
∴HD//FB，OE=OG，
∴∠BEO=∠DGO。
又
∵Rt△AEB≌Rt△CGD，
∴BE=DG。
在△BOE和△DOG中：OE=OG，∠BEO=∠DGO，BE=DG，
∴△BOE≌△DOG(SAS)。
∴∠BOE=∠DOG，OB=OD，即O是BD中点。
∵M是AB中点，
∴OM是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理，OM//AD。
②
∵AH=HE，M是AB中点，
∴MH是△ABE的中位线，
∴MH//BE，BE=2MH。
设ON与MD交于点K，作△MOH的高h₁，△NOG的高h₂。
∵N是AD中点，由①知OM是△ABD中位线，
∴OM=½AD，又DN=½AD，故OM=DN。
∵OM//AD，
∴∠NDK=∠OMK，又∠NKD=∠OKM，
∴△NDK≌△OMK(AAS)，
∴DK=MK，即h₁=h₂。
由S△NOG=3S△MOH，得½×KG×(h₁+h₂)=3×½×MH×h₁，因h₁=h₂，化简得KG= (3/2)MH，即MH/KG=2/3。
设MH=2x，KG=3x，则BE=DG=2MH=4x。结合线段关系得HG=8x，故HG/DG=8x/4x=2。
【答案】
(1) CG的长为3√3；
(2) ① 证明如上；② HG/DG的值为2。
【知识点】
直角三角形斜边中线、平行四边形性质、三角形中位线、全等三角形判定。
【点评】
本题融合多个几何知识点，需逐步推导线段关系与比例，逻辑推理要求较高，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5