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9. 如图，等边三角形ABC的边长为1 cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为
3
cm.答案
9.3
解析
【分析】
解决本题的核心是利用折叠的性质进行等量代换。首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边长度相等，可得AD=A'D，AE=A'E。接下来拆分阴影部分的周长组成，将折叠后得到的线段A'D、A'E替换为原三角形的AD、AE，即可把阴影周长转化为等边三角形ABC的周长，进而计算结果。
【解析】
根据折叠的性质可知：$AD = A'D$，$AE = A'E$。
阴影部分图形的周长为：
$C_{\mathrm{阴影}} = BD + A'D + BC + CE + A'E$
将$AD = A'D$，$AE = A'E$代入上式，得：
$C_{\mathrm{阴影}} = BD + AD + BC + CE + AE$
整理得：
$C_{\mathrm{阴影}} = (BD + AD) + BC + (CE + AE) = AB + BC + AC$
∵ 等边三角形ABC的边长为1 cm，即$AB=BC=AC=1\ \mathrm{cm}$
∴ $C_{\mathrm{阴影}} = 1 + 1 + 1 = 3\ \mathrm{cm}$
【答案】
3
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的性质
【点评】
本题是折叠类图形周长计算的典型题目，解题关键是准确利用折叠前后对应边相等的性质，对阴影部分的周长进行等量代换，将未知的折叠边转化为原等边三角形的边，从而简化计算过程，无需单独求解各阴影部分的边长。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用折叠的性质进行等量代换。首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边长度相等，可得AD=A'D，AE=A'E。接下来拆分阴影部分的周长组成，将折叠后得到的线段A'D、A'E替换为原三角形的AD、AE，即可把阴影周长转化为等边三角形ABC的周长，进而计算结果。
【解析】
根据折叠的性质可知：$AD = A'D$，$AE = A'E$。
阴影部分图形的周长为：
$C_{\mathrm{阴影}} = BD + A'D + BC + CE + A'E$
将$AD = A'D$，$AE = A'E$代入上式，得：
$C_{\mathrm{阴影}} = BD + AD + BC + CE + AE$
整理得：
$C_{\mathrm{阴影}} = (BD + AD) + BC + (CE + AE) = AB + BC + AC$
∵ 等边三角形ABC的边长为1 cm，即$AB=BC=AC=1\ \mathrm{cm}$
∴ $C_{\mathrm{阴影}} = 1 + 1 + 1 = 3\ \mathrm{cm}$
【答案】
3
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的性质
【点评】
本题是折叠类图形周长计算的典型题目，解题关键是准确利用折叠前后对应边相等的性质，对阴影部分的周长进行等量代换，将未知的折叠边转化为原等边三角形的边，从而简化计算过程，无需单独求解各阴影部分的边长。
【难度系数】
0.7
10.如图,点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,∠1=∠2,则∠BPC的度数为
135
°.答案
10. 135 [解析]$\because$ 四边形ABCD是正方形,
$\therefore ∠ ACB=45°.\therefore ∠ 2+∠ BCP=45°$.
$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ 1+∠ BCP=45°$.
$\because ∠ BPC=180°-∠ 1-∠ BCP,\therefore ∠ BPC=135°$.
$\therefore ∠ ACB=45°.\therefore ∠ 2+∠ BCP=45°$.
$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ 1+∠ BCP=45°$.
$\because ∠ BPC=180°-∠ 1-∠ BCP,\therefore ∠ BPC=135°$.
解析
【分析】
解题时首先利用正方形的性质：正方形对角线平分一组内角，可得对角线AC与BC的夹角∠ACB为45°，即∠2与∠BCP的和为45°；再结合已知∠1=∠2，通过等量代换得到∠1与∠BCP的和也为45°；最后根据三角形内角和为180°，在△BPC中用180°减去∠1与∠BCP的和，即可求出∠BPC的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴∠ACB=∠2+∠BCP=45°，
又
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BCP=45°，
在△BPC中，根据三角形内角和定理可得：
∠BPC=180°-(∠1+∠BCP)=180°-45°=135°。
【答案】
135
【知识点】
正方形的性质、三角形内角和定理、等量代换
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题关键是利用正方形对角线的性质得到定角45°，再通过角的等量转化结合三角形内角和定理求解，是正方形性质应用的典型常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用正方形的性质：正方形对角线平分一组内角，可得对角线AC与BC的夹角∠ACB为45°，即∠2与∠BCP的和为45°；再结合已知∠1=∠2，通过等量代换得到∠1与∠BCP的和也为45°；最后根据三角形内角和为180°，在△BPC中用180°减去∠1与∠BCP的和，即可求出∠BPC的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴∠ACB=∠2+∠BCP=45°，
又
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BCP=45°，
在△BPC中，根据三角形内角和定理可得：
∠BPC=180°-(∠1+∠BCP)=180°-45°=135°。
【答案】
135
【知识点】
正方形的性质、三角形内角和定理、等量代换
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题关键是利用正方形对角线的性质得到定角45°，再通过角的等量转化结合三角形内角和定理求解，是正方形性质应用的典型常见题型。
【难度系数】
0.8
11. 如图,在△ABC中,点D,E分别是边AC,BC上的点.若△ADB≌△EDB≌△EDC,AB=10 cm,则BC=
20
cm.答案
11. 20
解析
【分析】
解题时先利用全等三角形对应边相等的性质，首先由△ADB≌△EDB得到AB与BE相等，求出BE的长度；再由△EDB≌△EDC得到BE与EC相等，求出EC的长度；最后根据BC是BE与EC的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ADB≌△EDB，根据全等三角形对应边相等，
∴AB = BE，
已知AB=10 cm，
∴BE=10 cm。
又
∵△EDB≌△EDC，根据全等三角形对应边相等，
∴BE = EC，
∴EC=10 cm。
∴BC = BE + EC = 10 + 10 = 20（cm）。
【答案】
20
【知识点】
全等三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题是基础几何应用题，核心考查全等三角形性质的运用，解题的关键是准确识别全等三角形的对应边，结合线段和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用全等三角形对应边相等的性质，首先由△ADB≌△EDB得到AB与BE相等，求出BE的长度；再由△EDB≌△EDC得到BE与EC相等，求出EC的长度；最后根据BC是BE与EC的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ADB≌△EDB，根据全等三角形对应边相等，
∴AB = BE，
已知AB=10 cm，
∴BE=10 cm。
又
∵△EDB≌△EDC，根据全等三角形对应边相等，
∴BE = EC，
∴EC=10 cm。
∴BC = BE + EC = 10 + 10 = 20（cm）。
【答案】
20
【知识点】
全等三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题是基础几何应用题，核心考查全等三角形性质的运用，解题的关键是准确识别全等三角形的对应边，结合线段和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
12.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是
$8\sqrt{5}$
。答案
12.$8\sqrt{5}$
解析
【分析】
首先回忆正方形的性质：正方形的对角线互相垂直、平分且长度相等。我们先连接BD交AC于点O，就能得到BD与AC垂直，且OA、OB、OC、OD的长度可求。再结合已知AE=CF=2，计算出OE、OF的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理求出四边形BEDF的边长，进而求出周长。
【解析】
解：连接BD，交AC于点O。
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，BD=AC=8，OA=OC=OB=OD=$\frac{1}{2}$AC=4。
∵AE=CF=2，
∴OE=OA-AE=4-2=2，OF=OC-CF=4-2=2。
在Rt△DOE中，由勾股定理可得：
DE=$\sqrt{OD^2+OE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
同理可证BE=DF=BF=2$\sqrt{5}$，
∴四边形BEDF的周长为$4×2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
【答案】
$8\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，菱形的性质
【点评】
本题解题的核心是通过连接正方形对角线构造直角三角形，结合正方形的性质和勾股定理求线段长度，是图形与证明板块的典型习题。
【难度系数】
0.7
首先回忆正方形的性质：正方形的对角线互相垂直、平分且长度相等。我们先连接BD交AC于点O，就能得到BD与AC垂直，且OA、OB、OC、OD的长度可求。再结合已知AE=CF=2，计算出OE、OF的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理求出四边形BEDF的边长，进而求出周长。
【解析】
解：连接BD，交AC于点O。
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，BD=AC=8，OA=OC=OB=OD=$\frac{1}{2}$AC=4。
∵AE=CF=2，
∴OE=OA-AE=4-2=2，OF=OC-CF=4-2=2。
在Rt△DOE中，由勾股定理可得：
DE=$\sqrt{OD^2+OE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
同理可证BE=DF=BF=2$\sqrt{5}$，
∴四边形BEDF的周长为$4×2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
【答案】
$8\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，菱形的性质
【点评】
本题解题的核心是通过连接正方形对角线构造直角三角形，结合正方形的性质和勾股定理求线段长度，是图形与证明板块的典型习题。
【难度系数】
0.7
13.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD.若∠BAD=58°,则∠EBD的度数为
32
°.答案
13. 32
解析
【分析】
看到题中有两个共斜边的直角三角形，且E是斜边AC的中点，首先想到直角三角形斜边中线的性质，可得DE=BE=½AC，即△BED是等腰三角形。要计算底角∠EBD，需要先求出顶角∠BED的度数：结合三角形外角的性质，可推出∠BED=2∠BAD，最后利用等腰三角形内角和的性质就能算出∠EBD的度数。
【解析】
解：
∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴在Rt△ADC中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DE=½AC=AE，
同理在Rt△ABC中，BE=½AC=AE，
∴DE=BE，且∠EAD=∠EDA，∠EAB=∠EBA。
根据三角形外角的性质：
∠DEC=∠EAD+∠EDA=2∠EAD，
∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB，
∴∠BED=∠DEC+∠BEC=2(∠EAD+∠EAB)=2∠BAD。
已知∠BAD=58°，代入得∠BED=2×58°=116°。
∵DE=BE，△BED是等腰三角形，
∴∠EBD=(180°-∠BED)÷2=(180°-116°)÷2=32°。
【答案】
32
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的突破口是识别共斜边直角三角形的隐含性质，通过斜边中线得到相等线段构造等腰三角形，再结合外角性质关联已知角和待求角，掌握相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
看到题中有两个共斜边的直角三角形，且E是斜边AC的中点，首先想到直角三角形斜边中线的性质，可得DE=BE=½AC，即△BED是等腰三角形。要计算底角∠EBD，需要先求出顶角∠BED的度数：结合三角形外角的性质，可推出∠BED=2∠BAD，最后利用等腰三角形内角和的性质就能算出∠EBD的度数。
【解析】
解：
∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴在Rt△ADC中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DE=½AC=AE，
同理在Rt△ABC中，BE=½AC=AE，
∴DE=BE，且∠EAD=∠EDA，∠EAB=∠EBA。
根据三角形外角的性质：
∠DEC=∠EAD+∠EDA=2∠EAD，
∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB，
∴∠BED=∠DEC+∠BEC=2(∠EAD+∠EAB)=2∠BAD。
已知∠BAD=58°，代入得∠BED=2×58°=116°。
∵DE=BE，△BED是等腰三角形，
∴∠EBD=(180°-∠BED)÷2=(180°-116°)÷2=32°。
【答案】
32
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的突破口是识别共斜边直角三角形的隐含性质，通过斜边中线得到相等线段构造等腰三角形，再结合外角性质关联已知角和待求角，掌握相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
14.如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是
17
。答案
14. 17
解析
【分析】
菱形的周长等于4倍边长，因此要得到最大周长，需先求出菱形的最大边长。当斜放的矩形纸条的顶点恰好落在水平矩形纸条的边缘时，菱形边长达到最大，此时可构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解边长，进而计算周长。
【解析】
设菱形周长最大时，边长为$ x $。此时斜放的纸条顶点刚好落在水平纸条的侧边，构成的直角三角形中，一条直角边为纸条的宽2，另一条直角边长度为$ 8 - x $，斜边为菱形边长$ x $。
根据勾股定理可得：
$x^2 = 2^2 + (8 - x)^2$
展开计算：
$x^2 = 4 + 64 - 16x + x^2$
两边消去$ x^2 $后整理得：
$16x = 68$
解得$ x = \frac{17}{4} $。
因此菱形的最大周长为$ 4x = 4 × \frac{17}{4} = 17 $。
【答案】
17
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题将图形性质与方程思想结合，解题的核心是判断出菱形边长最大时两个矩形的位置关系，考查了几何最值的分析能力和方程求解的应用能力。
【难度系数】
0.6
菱形的周长等于4倍边长，因此要得到最大周长，需先求出菱形的最大边长。当斜放的矩形纸条的顶点恰好落在水平矩形纸条的边缘时，菱形边长达到最大，此时可构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解边长，进而计算周长。
【解析】
设菱形周长最大时，边长为$ x $。此时斜放的纸条顶点刚好落在水平纸条的侧边，构成的直角三角形中，一条直角边为纸条的宽2，另一条直角边长度为$ 8 - x $，斜边为菱形边长$ x $。
根据勾股定理可得：
$x^2 = 2^2 + (8 - x)^2$
展开计算：
$x^2 = 4 + 64 - 16x + x^2$
两边消去$ x^2 $后整理得：
$16x = 68$
解得$ x = \frac{17}{4} $。
因此菱形的最大周长为$ 4x = 4 × \frac{17}{4} = 17 $。
【答案】
17
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题将图形性质与方程思想结合，解题的核心是判断出菱形边长最大时两个矩形的位置关系，考查了几何最值的分析能力和方程求解的应用能力。
【难度系数】
0.6
15. 已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=
22.5
°。答案
15. 22.5
解析
【分析】
首先利用正方形的性质确定对角线与边的夹角：正方形的对角线平分内角，因此∠DAC=45°。接下来观察图形，已知AE=AD，且EF⊥AC、∠D=90°，可得△ADF和△AEF均为直角三角形，两个三角形共享斜边AF，结合直角边AD=AE，可通过HL判定两个直角三角形全等，进而得到∠FAD=∠FAE，即AF平分∠DAC，据此即可求出∠FAD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，∠DAC=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=90°=∠D，
在Rt△ADF和Rt△AEF中：
$\{\begin{array}{l}AD=AE\\ AF=AF\end{array} $
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），
∴∠FAD=∠FAE，即AF平分∠DAC，
∴$∠ FAD=\frac{1}{2}∠ DAC=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
22.5
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角的计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练运用正方形对角线的角度特征，结合直角三角形全等的判定得到角的等量关系，进而求解目标角度。
【难度系数】
0.7
首先利用正方形的性质确定对角线与边的夹角：正方形的对角线平分内角，因此∠DAC=45°。接下来观察图形，已知AE=AD，且EF⊥AC、∠D=90°，可得△ADF和△AEF均为直角三角形，两个三角形共享斜边AF，结合直角边AD=AE，可通过HL判定两个直角三角形全等，进而得到∠FAD=∠FAE，即AF平分∠DAC，据此即可求出∠FAD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，∠DAC=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=90°=∠D，
在Rt△ADF和Rt△AEF中：
$\{\begin{array}{l}AD=AE\\ AF=AF\end{array} $
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），
∴∠FAD=∠FAE，即AF平分∠DAC，
∴$∠ FAD=\frac{1}{2}∠ DAC=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
22.5
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角的计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练运用正方形对角线的角度特征，结合直角三角形全等的判定得到角的等量关系，进而求解目标角度。
【难度系数】
0.7
16. 如图，平面内4条直线 $ l_1, l_2, l_3, l_4 $ 是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上，其中点A，C分别在直线 $ l_1 $ 和 $ l_4 $ 上，该正方形的面积是
5或9
平方单位。答案
16. 5或9
解析
【分析】
解题时需分类讨论正方形的两种放置方式：① 正方形的边与平行线方向垂直，结合A在$l_1$、C在$l_4$的条件可直接得到边长；② 正方形的边与平行线不垂直，通过过顶点作平行线的垂线构造全等直角三角形，结合勾股定理计算边长，最终得到两种情况的面积。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当正方形的边与平行线垂直时：
相邻平行线间距为1，因此$l_1$到$l_4$的距离为$1×3=3$，此时正方形边长等于$l_1$到$l_4$的距离，即边长为3，
面积为$3×3=9$（平方单位）。
2. 当正方形的边与平行线不垂直时：
过点B作平行线的垂线，分别交$l_1$、$l_4$于点E、F，可得$∠ AEB=∠ BFC=90°$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
∴$∠ ABE+∠ FBC=90°$，又$∠ ABE+∠ EAB=90°$，
∴$∠ EAB=∠ FBC$。
在$△ AEB$和$△ BFC$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ BFC \\∠ EAB=∠ FBC \\AB=BC\end{cases}$
∴$△ AEB≌△ BFC$（AAS）。
由相邻平行线间距为1，得$BE=1$，$BF=2$，因此$AE=BF=2$。
在$Rt△ AEB$中，由勾股定理得：$AB^2=AE^2+BE^2=2^2+1^2=5$，即正方形面积为5平方单位。
综上，正方形的面积是5或9平方单位。
【答案】
5或9
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题的易错点是忽略正方形的两种放置情况，造成漏解，解题过程中用到了分类讨论思想，需要熟练掌握正方形性质、全等三角形判定和勾股定理的综合应用。
【难度系数】
0.6
解题时需分类讨论正方形的两种放置方式：① 正方形的边与平行线方向垂直，结合A在$l_1$、C在$l_4$的条件可直接得到边长；② 正方形的边与平行线不垂直，通过过顶点作平行线的垂线构造全等直角三角形，结合勾股定理计算边长，最终得到两种情况的面积。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当正方形的边与平行线垂直时：
相邻平行线间距为1，因此$l_1$到$l_4$的距离为$1×3=3$，此时正方形边长等于$l_1$到$l_4$的距离，即边长为3，
面积为$3×3=9$（平方单位）。
2. 当正方形的边与平行线不垂直时：
过点B作平行线的垂线，分别交$l_1$、$l_4$于点E、F，可得$∠ AEB=∠ BFC=90°$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
∴$∠ ABE+∠ FBC=90°$，又$∠ ABE+∠ EAB=90°$，
∴$∠ EAB=∠ FBC$。
在$△ AEB$和$△ BFC$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ BFC \\∠ EAB=∠ FBC \\AB=BC\end{cases}$
∴$△ AEB≌△ BFC$（AAS）。
由相邻平行线间距为1，得$BE=1$，$BF=2$，因此$AE=BF=2$。
在$Rt△ AEB$中，由勾股定理得：$AB^2=AE^2+BE^2=2^2+1^2=5$，即正方形面积为5平方单位。
综上，正方形的面积是5或9平方单位。
【答案】
5或9
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题的易错点是忽略正方形的两种放置情况，造成漏解，解题过程中用到了分类讨论思想，需要熟练掌握正方形性质、全等三角形判定和勾股定理的综合应用。
【难度系数】
0.6
三、解答题
17.如图，在$△ ABC(AB≠AC)$中，点$D,E$在$BC$上，且$DE=EC$，过点$D$作$DF// BA$，交$AE$于点$F$，$AE$平分$∠ BAC$.求证:$DF=AC$.
17.如图，在$△ ABC(AB≠AC)$中，点$D,E$在$BC$上，且$DE=EC$，过点$D$作$DF// BA$，交$AE$于点$F$，$AE$平分$∠ BAC$.求证:$DF=AC$.
答案
17. 如图，延长FE到点G,使EG=EF,连接CG.
在$△ DEF$和$△ CEG$中,$ED=EC$,
$∠ DEF=∠ CEG,FE=GE$,
$\therefore △ DEF≌△ CEG(\mathrm{SAS})$.
$\therefore DF=GC,∠ DFE=∠ G$.
$\because DF// AB,\therefore ∠ DFE=∠ BAE$.
$\because AE$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAE=∠ CAE$.
$\therefore ∠ G=∠ CAE.\therefore GC=AC.\therefore DF=AC$.
解析
【分析】
要证明DF=AC，两条线段无直接的全等或等腰关系，因此考虑构造全等三角形实现线段转化。已知DE=EC，E是DC的中点，可采用倍长中线法：延长FE到G使EG=EF，先证△DEF和△CEG全等，将DF转化为GC；再结合DF//AB、AE平分∠BAC的条件推导角的等量关系，证明GC=AC，最终通过等量代换得到DF=AC。
【解析】
1. 作辅助线：延长FE到点G，使EG=EF，连接CG。
2. 证明△DEF≌△CEG：
在$△ DEF$和$△ CEG$中：
$\begin{cases} ED=EC（已知） \\ ∠ DEF=∠ CEG（对顶角相等） \\ FE=GE（辅助线作法） \end{cases}$
$\therefore △ DEF≌△ CEG(\mathrm{SAS})$
由全等性质得：$DF=GC$，$∠ DFE=∠ G$。
3. 结合平行线性质推导角相等：
$\because DF// AB$，$\therefore ∠ DFE=∠ BAE$（两直线平行，同位角相等）。
4. 结合角平分线性质推导角相等：
$\because AE$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ BAE=∠ CAE$。
5. 推导等腰三角形：
等量代换得$∠ G=∠ CAE$，根据等角对等边得$GC=AC$。
6. 等量代换得结论：
$\because DF=GC$，$GC=AC$，$\therefore DF=AC$。
【答案】
如图，延长FE到点G,使EG=EF,连接CG.
在$△ DEF$和$△ CEG$中,$ED=EC$,
$∠ DEF=∠ CEG,FE=GE$,
$\therefore △ DEF≌△ CEG(\mathrm{SAS})$.
$\therefore DF=GC,∠ DFE=∠ G$.
$\because DF// AB,\therefore ∠ DFE=∠ BAE$.
$\because AE$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAE=∠ CAE$.
$\therefore ∠ G=∠ CAE.\therefore GC=AC.\therefore DF=AC$.
【知识点】
全等三角形判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是典型的线段相等证明题，核心方法是利用“倍长中线”构造全等三角形实现线段转化，再结合平行线、角平分线的性质推导角的等量关系，进而通过等腰三角形的判定完成证明。倍长中线是解决含中点条件的几何证明题的常用辅助线作法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要证明DF=AC，两条线段无直接的全等或等腰关系，因此考虑构造全等三角形实现线段转化。已知DE=EC，E是DC的中点，可采用倍长中线法：延长FE到G使EG=EF，先证△DEF和△CEG全等，将DF转化为GC；再结合DF//AB、AE平分∠BAC的条件推导角的等量关系，证明GC=AC，最终通过等量代换得到DF=AC。
【解析】
1. 作辅助线：延长FE到点G，使EG=EF，连接CG。
2. 证明△DEF≌△CEG：
在$△ DEF$和$△ CEG$中：
$\begin{cases} ED=EC（已知） \\ ∠ DEF=∠ CEG（对顶角相等） \\ FE=GE（辅助线作法） \end{cases}$
$\therefore △ DEF≌△ CEG(\mathrm{SAS})$
由全等性质得：$DF=GC$，$∠ DFE=∠ G$。
3. 结合平行线性质推导角相等：
$\because DF// AB$，$\therefore ∠ DFE=∠ BAE$（两直线平行，同位角相等）。
4. 结合角平分线性质推导角相等：
$\because AE$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ BAE=∠ CAE$。
5. 推导等腰三角形：
等量代换得$∠ G=∠ CAE$，根据等角对等边得$GC=AC$。
6. 等量代换得结论：
$\because DF=GC$，$GC=AC$，$\therefore DF=AC$。
【答案】
如图，延长FE到点G,使EG=EF,连接CG.
在$△ DEF$和$△ CEG$中,$ED=EC$,
$∠ DEF=∠ CEG,FE=GE$,
$\therefore △ DEF≌△ CEG(\mathrm{SAS})$.
$\therefore DF=GC,∠ DFE=∠ G$.
$\because DF// AB,\therefore ∠ DFE=∠ BAE$.
$\because AE$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAE=∠ CAE$.
$\therefore ∠ G=∠ CAE.\therefore GC=AC.\therefore DF=AC$.
【知识点】
全等三角形判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是典型的线段相等证明题，核心方法是利用“倍长中线”构造全等三角形实现线段转化，再结合平行线、角平分线的性质推导角的等量关系，进而通过等腰三角形的判定完成证明。倍长中线是解决含中点条件的几何证明题的常用辅助线作法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
