1[2026江苏泰州期中,中]如图是课本第71页的部分内容,请用类比的方法求证$\sqrt{3}$是无理数.


拓展2 教材P82-83 综合与实践

1.【证明】假设$\sqrt{3}$不是无理数,那么$\sqrt{3}$是有理数. 设$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$(m,n 是正整数,且没有大于1的公约数). 根据平方根的意义,$(\frac{m}{n})^2 = 3$,即$\frac{m^2}{n^2}=3,\therefore m^2=3n^2$. 由上式右边$3n^2$是3的倍数,$\therefore$ 左边$m^2$也是3的倍数,$m^2$分解质因数时必有质因数3,$\therefore m$一定有质因数3(或m是3的倍数). 设$m=3p$(p 为正整数),$\therefore m^2=(3p)^2=9p^2$,$\therefore 9p^2=3n^2$,$\therefore n^2=3p^2$,$\therefore n^2$是3的倍数,$\therefore n$是3的倍数. 于是,m,n都是3的倍数,这与m,n没有大于1的公约数相矛盾,$\therefore$ 假设不成立,$\sqrt{3}$不可能写成$\frac{m}{n}$的形式(m,n是正整数,且最大公约数是1),$\therefore \sqrt{3}$是无理数.

2 AI DPSK 原创【阅读材料】中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位. 刘徽提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”由此求得圆周率π的近似值.例如:在半径为r的圆的内部作正n边形,其周长为C,圆的直径为d,则π≈$\frac{C}{d}$.如图(1),当n=6时,OC=OD=r,∠COD=$\frac{360°}{6}$=60°,∴△OCD为等边三角形,∴CD=r,∴C=6r,∴π≈$\frac{C}{d}$=$\frac{6r}{2r}$=3.
【类比探究】连接圆心O与正n边形的任意一条边的两个端点,可得到一个等腰三角形,当n=12,15,18,24时,等腰三角形顶角的度数以及底边与腰的长度比的数据如表所示,根据表格数据及【阅读材料】的方法,分别求出圆周率π的近似值.(结果精确到0.001)

【方法运用】除了利用正多边形的周长趋近圆的周长作估计,还可利用面积作估计.如图(2),利用圆O的内部所作的正十二边形ABCDEFGHIJKL的面积作估计,可得圆周率π的近似值为.

2.【类比探究】设正多边形的半径为r. 当n=12时,由表格数据可得,正十二边形的边长≈0.517 6r,$\therefore π \approx \frac{C}{d} = \frac{12×0.517 6r}{2r}\approx 3.106$. 同理,当n = 15 时, $π \approx \frac{C}{d} = \frac{15×0.415 8r}{2r} \approx 3.119$;当n = 18 时, $π \approx \frac{C}{d} = \frac{18×0.347 3r}{2r} \approx 3.126$;当n = 24 时, $π \approx \frac{C}{d} = \frac{24×0.261 1r}{2r} \approx 3.133$.
【方法运用】如图,由题图(2)得AB是正十二边形的一条边,点O是圆心,连接OA,OB.
设圆O的半径为r,则OA=OB=r. 过 A 作 AM ⊥ OB 于 M,
$\therefore ∠ AMO= 90°$. $\because ∠ AOB = 30°$,
$\therefore AM = \frac{1}{2} OA = \frac{1}{2} r$, $\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} OB · AM = \frac{1}{2} × r × \frac{1}{2} r = \frac{1}{4} r^2$,$\therefore$ 正十二边形的面积为 $12× \frac{1}{4} r^2 = 3r^2$,$\therefore π \approx \frac{3r^2}{r^2} = 3$,故答案为3.