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【学以致用4】有下列方程:①$x-2=\frac{2}{x}$;②$0.3x=1$;③$\frac{x}{2}=5x-1$;④$x^2-4x=3$;⑤$x=6$;⑥$x+2y=0$.其中
②③⑤
是一元一次方程.(填序号)答案
②③⑤
解析
【分析】
要判断哪些是一元一次方程，首先得明确一元一次方程的三个核心判定条件：第一，只含有1个未知数；第二，未知数的最高次数是1；第三，等号左右两边都是整式（也就是分母里不能出现未知数）。接下来我们把6个方程逐个对照这三个条件检查，满足所有条件的就是正确选项。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
逐个分析各方程：
①$x-2=\frac{2}{x}$：等式右边分母含有未知数$x$，不是整式，不符合要求，不是一元一次方程；
②$0.3x=1$：只含未知数$x$，$x$的次数是1，两边都是整式，符合要求，是一元一次方程；
③$\frac{x}{2}=5x-1$：只含未知数$x$，$x$的次数是1，两边都是整式，符合要求，是一元一次方程；
④$x^2-4x=3$：未知数$x$的最高次数是2，不符合要求，不是一元一次方程；
⑤$x=6$：只含未知数$x$，$x$的次数是1，两边都是整式，符合要求，是一元一次方程；
⑥$x+2y=0$：含有$x$和$y$两个未知数，不符合要求，不是一元一次方程。
综上，符合要求的是②③⑤。
【答案】
②③⑤
【知识点】
1.一元一次方程的定义 2.整式的识别
【点评】
本题是一元一次方程概念的基础应用题，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的三个判定标准逐一排查，需注意分母含未知数的方程不属于整式方程，也不是一元一次方程。
【难度系数】
0.8
要判断哪些是一元一次方程，首先得明确一元一次方程的三个核心判定条件：第一，只含有1个未知数；第二，未知数的最高次数是1；第三，等号左右两边都是整式（也就是分母里不能出现未知数）。接下来我们把6个方程逐个对照这三个条件检查，满足所有条件的就是正确选项。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
逐个分析各方程：
①$x-2=\frac{2}{x}$：等式右边分母含有未知数$x$，不是整式，不符合要求，不是一元一次方程；
②$0.3x=1$：只含未知数$x$，$x$的次数是1，两边都是整式，符合要求，是一元一次方程；
③$\frac{x}{2}=5x-1$：只含未知数$x$，$x$的次数是1，两边都是整式，符合要求，是一元一次方程；
④$x^2-4x=3$：未知数$x$的最高次数是2，不符合要求，不是一元一次方程；
⑤$x=6$：只含未知数$x$，$x$的次数是1，两边都是整式，符合要求，是一元一次方程；
⑥$x+2y=0$：含有$x$和$y$两个未知数，不符合要求，不是一元一次方程。
综上，符合要求的是②③⑤。
【答案】
②③⑤
【知识点】
1.一元一次方程的定义 2.整式的识别
【点评】
本题是一元一次方程概念的基础应用题，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的三个判定标准逐一排查，需注意分母含未知数的方程不属于整式方程，也不是一元一次方程。
【难度系数】
0.8
【学以致用5】根据下列问题，设未知数并列出方程：
(1)一块长方形土地的周长为18 m，长比宽的2倍还多3 m，求长方形的宽；
(2)如图，王伯伯靠墙用篱笆围成一块梯形菜地，这块梯形菜地的下底比上底长4 m，这块菜地的面积是72 m²，求梯形菜地的上底长。
(1)一块长方形土地的周长为18 m，长比宽的2倍还多3 m，求长方形的宽；
(2)如图，王伯伯靠墙用篱笆围成一块梯形菜地，这块梯形菜地的下底比上底长4 m，这块菜地的面积是72 m²，求梯形菜地的上底长。
答案
(1)设长方形的宽为 $x$ m,则长方形的长为 $(2x+3)$m.根据题意,得 $2(2x+3+x)=18$.
(2)设梯形菜地的上底长为 $x$ m,则下底长为 $(x+4)$m.
根据题意,得 $\frac{1}{2}(x+x+4)×6=72$.
(2)设梯形菜地的上底长为 $x$ m,则下底长为 $(x+4)$m.
根据题意,得 $\frac{1}{2}(x+x+4)×6=72$.
解析
【分析】
(1)解决第一问时，首先确定未知量是长方形的宽，我们可以直接设宽为x m，再根据“长比宽的2倍还多3 m”的关系，用含x的式子表示出长；再结合长方形周长公式“周长=2×(长+宽)”，题目已知周长为18 m，将长、宽代入周长公式即可得到方程。
(2)解决第二问时，先确定未知量是梯形的上底长，设上底长为x m，根据“下底比上底长4 m”表示出下底的长度；从图中可得到梯形的高是6 m，已知梯形面积为72 m²，结合梯形面积公式“面积=(上底+下底)×高÷2”，把对应量代入公式即可列出方程。
【解析】
(1)设长方形的宽为$x$ m，则长方形的长为$(2x+3)$ m。
长方形周长等于长与宽之和的2倍，已知周长为18 m，代入公式可得：
$2(2x+3+x)=18$
(2)设梯形菜地的上底长为$x$ m，则下底长为$(x+4)$ m。
从图中可知梯形的高为6 m，梯形面积等于上底加下底的和乘高再除以2，已知面积为72 m²，代入公式可得：
$\frac{1}{2}(x+x+4)×6=72$
【答案】
(1)设宽为$x$ m，列方程为$2(2x+3+x)=18$；
(2)设上底长为$x$ m，列方程为$\frac{1}{2}(x+x+4)×6=72$。
【知识点】
一元一次方程列法；长方形周长公式；梯形面积公式
【点评】
本题是列一元一次方程解决几何实际问题的基础题，解题核心是找准题目中的等量关系，熟练掌握常见几何图形的周长、面积公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1)解决第一问时，首先确定未知量是长方形的宽，我们可以直接设宽为x m，再根据“长比宽的2倍还多3 m”的关系，用含x的式子表示出长；再结合长方形周长公式“周长=2×(长+宽)”，题目已知周长为18 m，将长、宽代入周长公式即可得到方程。
(2)解决第二问时，先确定未知量是梯形的上底长，设上底长为x m，根据“下底比上底长4 m”表示出下底的长度；从图中可得到梯形的高是6 m，已知梯形面积为72 m²，结合梯形面积公式“面积=(上底+下底)×高÷2”，把对应量代入公式即可列出方程。
【解析】
(1)设长方形的宽为$x$ m，则长方形的长为$(2x+3)$ m。
长方形周长等于长与宽之和的2倍，已知周长为18 m，代入公式可得：
$2(2x+3+x)=18$
(2)设梯形菜地的上底长为$x$ m，则下底长为$(x+4)$ m。
从图中可知梯形的高为6 m，梯形面积等于上底加下底的和乘高再除以2，已知面积为72 m²，代入公式可得：
$\frac{1}{2}(x+x+4)×6=72$
【答案】
(1)设宽为$x$ m，列方程为$2(2x+3+x)=18$；
(2)设上底长为$x$ m，列方程为$\frac{1}{2}(x+x+4)×6=72$。
【知识点】
一元一次方程列法；长方形周长公式；梯形面积公式
【点评】
本题是列一元一次方程解决几何实际问题的基础题，解题核心是找准题目中的等量关系，熟练掌握常见几何图形的周长、面积公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
【典例1】已知方程$(a-4)x^{|a|-3}+2=0$是关于x的一元一次方程，求a的值.
[答案]解:因为方程$(a-4)x^{|a|-3}+2=0$是关于x的一元一次方程，
所以$|a|-3=1$，且$a-4≠0$，所以$a=-4.$
[答案]解:因为方程$(a-4)x^{|a|-3}+2=0$是关于x的一元一次方程，
所以$|a|-3=1$，且$a-4≠0$，所以$a=-4.$
答案
解：
因为方程$(a-4)x^{|a|-3}+2=0$是关于$x$的一元一次方程，
所以满足一元一次方程的定义要求：未知数的次数为1，且一次项系数不为0，
即$|a|-3=1$，且$a-4≠0$。
由$|a|-3=1$，解得$a=4$或$a=-4$，
结合$a-4≠0$即$a≠4$，
可得$a=-4$。
因为方程$(a-4)x^{|a|-3}+2=0$是关于$x$的一元一次方程，
所以满足一元一次方程的定义要求：未知数的次数为1，且一次项系数不为0，
即$|a|-3=1$，且$a-4≠0$。
由$|a|-3=1$，解得$a=4$或$a=-4$，
结合$a-4≠0$即$a≠4$，
可得$a=-4$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的核心判定规则：一是方程中未知数的最高次数为1，二是含有未知数的项的系数不能为0（若系数为0，未知数项就会消失，不符合一元一次方程的要求）。我们只需要根据这两个条件分别列式，再同时满足两个条件就能求出a的值，注意不要漏掉系数不为0的限制要求。
【解析】
因为方程$(a-4)x^{|a|-3}+2=0$是关于$x$的一元一次方程，
所以满足一元一次方程的定义要求：未知数的次数为1，且一次项系数不为0，
即$|a|-3=1$，且$a-4≠0$。
由$|a|-3=1$，移项得$|a|=4$，解得$a=4$或$a=-4$，
结合$a-4≠0$即$a≠4$，
可得$a=-4$。
【答案】
$a=-4$
【知识点】
1.一元一次方程的定义 2.绝对值的性质
【点评】
本题是一元一次方程概念的基础应用题，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误将$a=4$当作正确结果，求解这类题型时要同时满足“未知数最高次数为1”和“最高次项系数不为0”两个条件，二者缺一不可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的核心判定规则：一是方程中未知数的最高次数为1，二是含有未知数的项的系数不能为0（若系数为0，未知数项就会消失，不符合一元一次方程的要求）。我们只需要根据这两个条件分别列式，再同时满足两个条件就能求出a的值，注意不要漏掉系数不为0的限制要求。
【解析】
因为方程$(a-4)x^{|a|-3}+2=0$是关于$x$的一元一次方程，
所以满足一元一次方程的定义要求：未知数的次数为1，且一次项系数不为0，
即$|a|-3=1$，且$a-4≠0$。
由$|a|-3=1$，移项得$|a|=4$，解得$a=4$或$a=-4$，
结合$a-4≠0$即$a≠4$，
可得$a=-4$。
【答案】
$a=-4$
【知识点】
1.一元一次方程的定义 2.绝对值的性质
【点评】
本题是一元一次方程概念的基础应用题，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误将$a=4$当作正确结果，求解这类题型时要同时满足“未知数最高次数为1”和“最高次项系数不为0”两个条件，二者缺一不可。
【难度系数】
0.7
【变式1】若$(a^2 - 1)x^2 + ax + x - 1 = 0$是关于$x$的一元一次方程，则$a$的值是
1
。答案
1
[解析] 若$(a^2 - 1)x^2 + ax + x - 1 = 0$是关于$x$的一元一次方程,则必须满足二次项系数为0,一次项系数不为0.因为$(a^2 - 1)x^2 + ax + x - 1=0$可整理为$(a^2 - 1)x^2 + (a+1)x - 1=0$,所以$a^2 - 1=0$,且$a+1≠0$,所以$a=1$.
[解析] 若$(a^2 - 1)x^2 + ax + x - 1 = 0$是关于$x$的一元一次方程,则必须满足二次项系数为0,一次项系数不为0.因为$(a^2 - 1)x^2 + ax + x - 1=0$可整理为$(a^2 - 1)x^2 + (a+1)x - 1=0$,所以$a^2 - 1=0$,且$a+1≠0$,所以$a=1$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一元一次方程的核心特征：一是只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是含未知数的项的系数不能为0。本题中方程含有x²项，要满足一元一次方程的要求，首先需要让x²项的系数为0，消去二次项，同时要保证x的一次项系数不为0，避免方程没有未知数，结合这两个条件就能求出a的取值。
【解析】
第一步：先整理原方程，合并同类项：
原方程$(a^2 - 1)x^2 + ax + x - 1 = 0$可整理为：
$(a^2 - 1)x^2 + (a+1)x - 1 = 0$
第二步：根据一元一次方程的要求列条件：
① 二次项系数为0：$a^2 - 1 = 0$，解得$a=1$或$a=-1$
② 一次项系数不为0：$a+1 ≠ 0$，解得$a ≠ -1$
第三步：结合两个条件，同时满足的只有$a=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 合并同类项
3. 解方程
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础应用题型，易错点是容易遗漏一次项系数不为0的限制条件，直接得出a=±1的错误结果，解题时要注意把定义的所有要求都考虑周全。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先回忆一元一次方程的核心特征：一是只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是含未知数的项的系数不能为0。本题中方程含有x²项，要满足一元一次方程的要求，首先需要让x²项的系数为0，消去二次项，同时要保证x的一次项系数不为0，避免方程没有未知数，结合这两个条件就能求出a的取值。
【解析】
第一步：先整理原方程，合并同类项：
原方程$(a^2 - 1)x^2 + ax + x - 1 = 0$可整理为：
$(a^2 - 1)x^2 + (a+1)x - 1 = 0$
第二步：根据一元一次方程的要求列条件：
① 二次项系数为0：$a^2 - 1 = 0$，解得$a=1$或$a=-1$
② 一次项系数不为0：$a+1 ≠ 0$，解得$a ≠ -1$
第三步：结合两个条件，同时满足的只有$a=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 合并同类项
3. 解方程
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础应用题型，易错点是容易遗漏一次项系数不为0的限制条件，直接得出a=±1的错误结果，解题时要注意把定义的所有要求都考虑周全。
【难度系数】
0.6
【典例2】若$x=-1$是方程$a-2bx=4(a,b$为常数$)$的解，则$2a+4b$的值为。
[思路导引]把方程的解代入方程可以得到一个关于常数$a,b$的等式，结合所求代数式与已知等式的关系，把$a+2b$看作一个整体代入求值。
[解析]把$x=-1$代入方程$a-2bx=4$，得$a+2b=4$，所以$2a+4b=2(a+2b)=2×4=8$。
[答案]8
[思路导引]把方程的解代入方程可以得到一个关于常数$a,b$的等式，结合所求代数式与已知等式的关系，把$a+2b$看作一个整体代入求值。
[解析]把$x=-1$代入方程$a-2bx=4$，得$a+2b=4$，所以$2a+4b=2(a+2b)=2×4=8$。
[答案]8
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
解题时首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。所以第一步我们把x=-1代入原方程，就能得到关于a、b的等式；再观察所求的代数式2a+4b，发现它可以变形为2(a+2b)，刚好和代入后得到的a+2b的结果对应，用整体代入的方法就能算出最终结果。
【解析】
第一步：把$x=-1$代入方程$a-2bx=4$，可得：
$a - 2b×(-1) = 4$
计算后得到：$a + 2b = 4$
第二步：对所求代数式$2a+4b$变形，提取公因数2可得：
$2a+4b = 2(a+2b)$
第三步：把$a+2b=4$整体代入上式，计算得：
$2×4=8$
【答案】
$8$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；整体代入求值
【点评】
本题是一元一次方程相关的基础题型，核心考查方程解的应用和整体代入的数学思想，解题的关键是正确代入方程的解得到a与b的数量关系，再对所求代数式合理变形后整体代入计算即可，熟练掌握方法就能快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。所以第一步我们把x=-1代入原方程，就能得到关于a、b的等式；再观察所求的代数式2a+4b，发现它可以变形为2(a+2b)，刚好和代入后得到的a+2b的结果对应，用整体代入的方法就能算出最终结果。
【解析】
第一步：把$x=-1$代入方程$a-2bx=4$，可得：
$a - 2b×(-1) = 4$
计算后得到：$a + 2b = 4$
第二步：对所求代数式$2a+4b$变形，提取公因数2可得：
$2a+4b = 2(a+2b)$
第三步：把$a+2b=4$整体代入上式，计算得：
$2×4=8$
【答案】
$8$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；整体代入求值
【点评】
本题是一元一次方程相关的基础题型，核心考查方程解的应用和整体代入的数学思想，解题的关键是正确代入方程的解得到a与b的数量关系，再对所求代数式合理变形后整体代入计算即可，熟练掌握方法就能快速作答。
【难度系数】
0.8
【变式2】若$x=3$是方程$a - bx = 4$的解，则$-6b + 2a + 2025$的值为
2033
。答案
2033
[解析] 把 $x=3$ 代入方程 $a - bx = 4$,得 $a-3b=4$,所以 $-6b+2a+2025=2(a-3b)+2025=2×4+2025=2033$.
[解析] 把 $x=3$ 代入方程 $a - bx = 4$,得 $a-3b=4$,所以 $-6b+2a+2025=2(a-3b)+2025=2×4+2025=2033$.
解析
【分析】
解题时首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，所以第一步我们把x=3代入原方程，就能得到a和b的数量关系。接下来观察待求值的代数式，可通过变形把代数式转化为包含刚才得到的a、b关系式的形式，用整体代入的方法计算即可，不需要单独求出a和b的具体数值。
【解析】
1. 将x=3代入方程$a - bx = 4$，可得：
$a - 3b = 4$
2. 对代数式$-6b + 2a + 2025$变形，提取公因数2：
$-6b + 2a + 2025 = 2a - 6b + 2025 = 2(a - 3b) + 2025$
3. 把$a - 3b = 4$整体代入上式计算：
$2×4 + 2025 = 8 + 2025 = 2033$
【答案】
2033
【知识点】
方程的解的定义，整体代入求值
【点评】
本题属于一元一次方程的基础应用题型，核心考查对“方程的解”概念的理解，以及整体代入思想在代数式求值中的运用，掌握整体代入法可简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，所以第一步我们把x=3代入原方程，就能得到a和b的数量关系。接下来观察待求值的代数式，可通过变形把代数式转化为包含刚才得到的a、b关系式的形式，用整体代入的方法计算即可，不需要单独求出a和b的具体数值。
【解析】
1. 将x=3代入方程$a - bx = 4$，可得：
$a - 3b = 4$
2. 对代数式$-6b + 2a + 2025$变形，提取公因数2：
$-6b + 2a + 2025 = 2a - 6b + 2025 = 2(a - 3b) + 2025$
3. 把$a - 3b = 4$整体代入上式计算：
$2×4 + 2025 = 8 + 2025 = 2033$
【答案】
2033
【知识点】
方程的解的定义，整体代入求值
【点评】
本题属于一元一次方程的基础应用题型，核心考查对“方程的解”概念的理解，以及整体代入思想在代数式求值中的运用，掌握整体代入法可简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
