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21.(本题8分)图1、图2均为$4×5$的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,点$A,B$均在格点上,点$P$为线段$AB$上的一点。(仅用无刻度的直尺作图)
(1)在图1中,画出一个以$AB$为边的正方形$ABCD$(保留作图痕迹)。
(2)在(1)的基础上,在边$CD$上画点$Q$,使得$PQ$平分正方形$ABCD$的面积(保留作图痕迹)。
(3)在图2中,画出一个以$AB$为边的非正方形的菱形$ABEF$(保留作图痕迹),连结此菱形各边中点所形成的四边形为
(1)在图1中,画出一个以$AB$为边的正方形$ABCD$(保留作图痕迹)。
(2)在(1)的基础上,在边$CD$上画点$Q$,使得$PQ$平分正方形$ABCD$的面积(保留作图痕迹)。
(3)在图2中,画出一个以$AB$为边的非正方形的菱形$ABEF$(保留作图痕迹),连结此菱形各边中点所形成的四边形为
矩形
。答案
21.解:(1)见下(1)图; (2)见下(2)图; (3)见下(3)图 矩形
解析
【分析】
(1) 要画以AB为边的正方形，需利用网格的直角特性，确定AB的方向后，作与AB垂直且长度相等的邻边，再连接对边即可得到正方形；
(2) 平分正方形面积的直线必过正方形的中心（对角线交点），因此连接正方形对角线找到中心，过点P和中心作直线，与CD交于点Q，即可完成作图；
(3) 作非正方形的菱形ABEF，需保证四边相等且邻边不垂直；根据中点四边形的性质，菱形的对角线互相垂直，其各边中点连线平行于对角线，故形成的四边形为矩形。
【解析】
(1) 作图：在4×5网格中，以AB为边，过点A作垂直于AB且长度等于AB的线段AD，过点B作垂直于AB且长度等于AB的线段BC，连接CD，得到正方形ABCD；
(2) 连接正方形ABCD的对角线AC、BD，交于点O（正方形中心），作直线PO，交CD于点Q，则PQ平分正方形ABCD的面积；
(3) 在网格中，以AB为边，作AF=AB、BE=AB、EF=AB，且AB与AF不垂直，得到非正方形的菱形ABEF；根据三角形中位线定理，菱形各边中点连线平行于菱形的对角线，因菱形对角线互相垂直，故中点四边形的邻边垂直，为矩形。
【答案】
矩形
【知识点】
网格作图，正方形性质，菱形性质，中点四边形
【点评】
本题结合网格考查几何图形的作图与性质应用，需利用网格的直角、长度特性，以及正方形、菱形的性质解决问题，重点考查几何直观与性质应用能力。
【难度系数】
0.5
(1) 要画以AB为边的正方形，需利用网格的直角特性，确定AB的方向后，作与AB垂直且长度相等的邻边，再连接对边即可得到正方形；
(2) 平分正方形面积的直线必过正方形的中心（对角线交点），因此连接正方形对角线找到中心，过点P和中心作直线，与CD交于点Q，即可完成作图；
(3) 作非正方形的菱形ABEF，需保证四边相等且邻边不垂直；根据中点四边形的性质，菱形的对角线互相垂直，其各边中点连线平行于对角线，故形成的四边形为矩形。
【解析】
(1) 作图：在4×5网格中，以AB为边，过点A作垂直于AB且长度等于AB的线段AD，过点B作垂直于AB且长度等于AB的线段BC，连接CD，得到正方形ABCD；
(2) 连接正方形ABCD的对角线AC、BD，交于点O（正方形中心），作直线PO，交CD于点Q，则PQ平分正方形ABCD的面积；
(3) 在网格中，以AB为边，作AF=AB、BE=AB、EF=AB，且AB与AF不垂直，得到非正方形的菱形ABEF；根据三角形中位线定理，菱形各边中点连线平行于菱形的对角线，因菱形对角线互相垂直，故中点四边形的邻边垂直，为矩形。
【答案】
矩形
【知识点】
网格作图，正方形性质，菱形性质，中点四边形
【点评】
本题结合网格考查几何图形的作图与性质应用，需利用网格的直角、长度特性，以及正方形、菱形的性质解决问题，重点考查几何直观与性质应用能力。
【难度系数】
0.5
22.(本题10分)古县城以“青春古城游”为主题，通过科技加持、文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴。
【科技加持】千架无人机腾空而起，在夜幕绘就“古城星空”，吸引不少游客驻足观看，据统计，假期第一天古县城累计接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次。
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率。
【文化赋能】烟火气十足的“去古城赶集”汇集非遗手作，地方美食等，重现古城商贸活力。如景区推出古城著名景点冰箱贴：每个冰箱贴的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个。
(2)若要使每天销售冰箱贴获利1 800元，则售价应降低多少元？
【科技加持】千架无人机腾空而起，在夜幕绘就“古城星空”，吸引不少游客驻足观看，据统计，假期第一天古县城累计接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次。
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率。
【文化赋能】烟火气十足的“去古城赶集”汇集非遗手作，地方美食等，重现古城商贸活力。如景区推出古城著名景点冰箱贴：每个冰箱贴的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个。
(2)若要使每天销售冰箱贴获利1 800元，则售价应降低多少元？
答案
22.解:(1)设日平均增长率为x,5(1+x)²=7.2,解得x₁=0.2,x₂=-2.2(舍)。答:日平均增长率为20%;
(2)设售价降低a元,(10-5-a)(500+50a)=1 800,解得a₁=2,a₂=-7(舍)。答:售价应降低2元。
(2)设售价降低a元,(10-5-a)(500+50a)=1 800,解得a₁=2,a₂=-7(舍)。答:售价应降低2元。
解析
【分析】
1. 第(1)问为增长率问题，核心是利用“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)^天数”的公式，设日平均增长率为x，结合第一天和第三天的游客量列方程，需舍去负的不合理解；
2. 第(2)问为利润问题，利用“总利润=单个利润×销售量”的关系，设售价降低a元，分别表示出单个利润和总销售量，结合总利润列方程，舍去负的降价金额。
【解析】
(1) 设日平均增长率为$ x $，根据题意得：
$ 5(1+x)^2 = 7.2 $
整理得：$ (1+x)^2 = 1.44 $
开方得：$ 1+x = \pm1.2 $
解得：$ x_1 = 0.2 $，$ x_2 = -2.2 $（增长率不能为负，舍去）
答：日平均增长率为20%。
(2) 设售价降低$ a $元，根据题意得：
$ (10 - 5 - a)(500 + \frac{25}{0.5}a) = 1800 $
化简得：$ (5 - a)(500 + 50a) = 1800 $
展开整理得：$ a^2 + 5a - 14 = 0 $
因式分解得：$ (a + 7)(a - 2) = 0 $
解得：$ a_1 = 2 $，$ a_2 = -7 $（降价金额不能为负，舍去）
答：售价应降低2元。
【答案】
22.解:(1)设日平均增长率为x,5(1+x)²=7.2,解得x₁=0.2,x₂=-2.2(舍)。答:日平均增长率为20%;(2)设售价降低a元,(10-5-a)(500+50a)=1800,解得a₁=2,a₂=-7(舍)。答:售价应降低2元。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元二次方程的应用（利润问题）
【点评】
本题考查一元二次方程在实际生活中的典型应用，分别对应增长率和利润两类常见题型，解题关键是找准等量关系列方程，需注意根据实际意义舍去不符合题意的解，是初中数学的基础常考题，难度适中。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问为增长率问题，核心是利用“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)^天数”的公式，设日平均增长率为x，结合第一天和第三天的游客量列方程，需舍去负的不合理解；
2. 第(2)问为利润问题，利用“总利润=单个利润×销售量”的关系，设售价降低a元，分别表示出单个利润和总销售量，结合总利润列方程，舍去负的降价金额。
【解析】
(1) 设日平均增长率为$ x $，根据题意得：
$ 5(1+x)^2 = 7.2 $
整理得：$ (1+x)^2 = 1.44 $
开方得：$ 1+x = \pm1.2 $
解得：$ x_1 = 0.2 $，$ x_2 = -2.2 $（增长率不能为负，舍去）
答：日平均增长率为20%。
(2) 设售价降低$ a $元，根据题意得：
$ (10 - 5 - a)(500 + \frac{25}{0.5}a) = 1800 $
化简得：$ (5 - a)(500 + 50a) = 1800 $
展开整理得：$ a^2 + 5a - 14 = 0 $
因式分解得：$ (a + 7)(a - 2) = 0 $
解得：$ a_1 = 2 $，$ a_2 = -7 $（降价金额不能为负，舍去）
答：售价应降低2元。
【答案】
22.解:(1)设日平均增长率为x,5(1+x)²=7.2,解得x₁=0.2,x₂=-2.2(舍)。答:日平均增长率为20%;(2)设售价降低a元,(10-5-a)(500+50a)=1800,解得a₁=2,a₂=-7(舍)。答:售价应降低2元。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元二次方程的应用（利润问题）
【点评】
本题考查一元二次方程在实际生活中的典型应用，分别对应增长率和利润两类常见题型，解题关键是找准等量关系列方程，需注意根据实际意义舍去不符合题意的解，是初中数学的基础常考题，难度适中。
【难度系数】
0.6
