9. 如图,在平面直角坐标系中,$AB=AC$,$BC// x$轴.若$A(1,3)$,$C(4,-1)$,则点$B$的坐标为（）


A.$(-1,-4)$
B.$(-1,-2)$
C.$(-4,-1)$
D.$(-2,-1)$

9. D 解析:由题意,得 y_B=y_C=−1. 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. 因为 BC//x 轴,所以 AD⊥x 轴. 因为 A(1,3),所以 D(1,−1). 因为 AB=AC,C(4,−1),所以 BD=CD=4−1=3. 所以点 B 的坐标为(1−3,−1),即(−2,−1).

10. 已知在平面直角坐标系中，点$ M(a+2,a-1) $在第四象限，且点$ M $到$ x $轴的距离为2，则点$ M $的坐标为。

10. (1,−2) 解析:因为点 M(a+2,a−1)在第四象限，所以 a−1＜0,即|a−1|=1−a. 又点 M 到 x 轴的距离为 2,所以 1−a=2,解得 a=−1. 所以点 M 的坐标为(1,−2).

11. 已知点$P(2m+4,3m-8)$到$y$轴的距离是它到$x$轴距离的2倍，则$m$的值为。

11. 5或$\dfrac{3}{2}$ 解析:由题意,得 2m+4=2(3m−8)或2m+4=−2(3m−8),解得 m=5 或 m=$\dfrac{3}{2}$. 则 m 的值为 5或$\dfrac{3}{2}$.

12. 已知在平面直角坐标系中，点$ P(a,b) $在第一象限的角平分线上，且$ a,b $满足$ 2a + b = 9 $，则点$ P $的坐标为。

12. (3,3) 解析:由题意,得 a=b. 又 2a+b=9,所以 a=b=3. 则点 P 的坐标为(3,3).

13. 已知在平面直角坐标系中,点 $ P $ 的坐标为$(m-1,2m+3)$.
(1) $ m $ 为何值时,点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离为 1?
(2) $ m $ 为何值时,点 $ P $ 到 $ y $ 轴的距离为 2?
(3) 点 $ P $ 可能在第一象限角平分线上吗?若可能,求出 $ m $ 的值;若不可能,请说明理由.

13. (1) 因为点 P 到 x 轴的距离为 1,所以|2m+3|=1,解得 m=−1 或 m=−2. 所以当 m 为−1 或−2 时，点 P 到 x 轴的距离为 1.
(2) 因为点 P 到 y 轴的距离为 2,所以|m−1|=2,解得 m=3 或 m=−1. 所以当 m 为 3 或−1 时,点 P 到 y 轴的距离为 2.
(3) 不可能. 理由如下:当点 P 在第一象限角平分线上时,m−1=2m+3,解得 m=−4. 因为点 P 在第一象限,所以 m−1＞0,2m+3＞0,解得 m＞1. 所以 m=−4 不符合题意. 所以点 P 不可能在第一象限角平分线上.

14. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P(0,1)，∠QPO=150°，且点P到点Q的距离为2，则点Q的坐标为。

14. $(1,1+\sqrt{3})$或$(-1,1+\sqrt{3})$ 解析:过点 Q 作 QM⊥y 轴于点 M,则∠QMP=90°. 又∠QPO=150°,所以∠QPM=180°−∠QPO=30°. 又点 P 到点 Q 的距离为 2,所以 PQ=2,即 QM=$\dfrac{1}{2}$PQ=1. 所以 PM=$\sqrt{PQ^2-QM^2}=\sqrt{3}$. 又点 P 的坐标为(0,1),所以 OP=1,即 OM=OP+PM=1+$\sqrt{3}$. 所以点 Q 的坐标为$(1,1+\sqrt{3})$或$(-1,1+\sqrt{3})$.

15. 在平面直角坐标系中,对于 P,Q 两点给出如下定义:若点 P 到 x 轴、y 轴的距离中的较大值等于点 Q 到 x 轴、y 轴的距离中的较大值,则称 P,Q 两点为“等距点”.例如:图中的 P,Q 两点即为“等距点”.
(1) 已知点 A 的坐标为(-3,1).
① 在点 E(0,3),F(3,-3),G(2,-5)中,与点 A 为“等距点”的是点(填字母),
② 若 B(m,m+6),且 A,B 两点为“等距点”,则点 B 的坐标为;
(2) 若 T₁(-1,-k-3),T₂(4,4k-3)两点为“等距点”,求 k 的值.

备用图

15. (1) 由题意,得点 A 到 x 轴、y 轴的距离中的较大值为 3.
① E,F 解析:因为 E,F,G 三点到 x 轴、y 轴的距离中的较大值分别为 3,3,5,所以与点 A 为“等距点”的是点 E,F.
② (−3,3) 解析:因为 A,B 两点为“等距点”,所以点 B 到 x 轴、y 轴的距离中的较大值为 3. 当|m|=3 时,m=3 或 m=−3,此时 m+6=9(舍去)或 m+6=3;当|m+6|=3 时,m=−3 或 m=−9(舍去). 所以点 B 的坐标为(−3,3).
(2) 因为 T₁(−1,−k−3),T₂(4,4k−3)两点为“等距点”,且−1＜4,所以分类讨论如下:① 若|4k−3|＜4,则−k−3=4 或−k−3=−4. 所以 k=−7(不符合题意,舍去)或 k=1;② 若|4k−3|≥4,则−k−3=4k−3 或−k−3=3−4k. 所以 k=0(不符合题意,舍去)或 k=2. 综上,k 的值为 1 或 2.