【学习研究】
（1）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题:如图①,诗中大意是将军从山脚下的点A出发,带着马走到河边点P处饮水后,再回到点B宿营,请问将军怎样走才能使总路程最短?请你通过画图,在图中找出点P,使$PA+PB$的值最小,不说明理由;
【类比迁移】
（2）① 如图②,P,Q是$△ ABC$的边AC,AB上的两个定点,请同学们在BC上找一点R,使得$△ PQR$的周长最小,
② 如图③,$∠ AOB$内部有P,Q两点,在OA,OB上分别找M,N两点,使四边形PQMN的周长最小;

【拓展提升】
（3）① 如图④,$∠ AOB＝30°$,C,D分别为OA,OB上的定点,E,F分别是射线OA,OB上的动点,试在OA上确定点E的位置,使得$CF+EF+DE$的值最小;
② 如图⑤,$△ ABC$是等边三角形,$AD⊥ BC$,垂足为D,P是AD上一个动点,试确定点P的位置,使得$BP+\frac{1}{2}AP$的值最小.

（1）作点 B 关于河边所在直线的对称点 B',连接AB'交河边于点P,则此时 PA+PB 的值最小，点P即为所求。
（2）① 作点 P 关于边 BC 所在直线的对称点P',连接P'Q交BC于点R,连接PQ,PR,此时△PQR的周长最小，则点R即为所求。
② 分别作P,Q两点关于射线OB,OA的对称点C,D,连接CD分别交OA,OB于M,N两点,此时四边形 PQMN 的周长最小，则 M,N 两点即为所求。
（3）① 作点 C 关于OB的对称点C',作点C'关于OA的对称点C'',连接 DC''交OA于点E，此时 CF+EF+DE 的值最小，则点E即为所求。
② 过点 B 作 BE⊥AC,垂足为 E,交 AD 于点P,此时 BP+$\frac{1}{2}$AP 的值最小，则点 P 即为所求。