【典例1】四张长为a，宽为$b(a＞b)$的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为$(a+b)$的正方形，图中空白部分面积为$S_1$，阴影部分的面积为$S_2$，若$S_1=S_2$，则$a:b=$。

解:$S_1=(a+b)^2-2(a+b)b$
$=a^2-b^2$,
$S_2=2(a+b)b=2ab+2b^2$,
$\therefore a^2-b^2=2ab+2b^2$,
$\therefore \frac{a}{b}=3.$

【典例2】如图，以$a$，$b$，$x$，$y$作正方形或长方形，已知$ax-by=7$，$ay-bx=1$，中阴影部分的面积为6.求中的阴影部分的面积.

解:$\because(a+b)(a-b)=6,\therefore a^2-b^2=6$,
而$a(x+y)-b(x+y)=8$,
$(x+y)(a-b)=8$,
$a(x-y)+b(x-y)=6$,
$(x-y)(a+b)=6$,
$\therefore(x+y)(x-y)(a+b)(a-b)=48$,
$\therefore(x^2-y^2)(a^2-b^2)=48$,
$\therefore x^2-y^2=8,\therefore S_{阴影}=8.$

【典例3】如图，分别以$a$，$b$，$m$，$n$为边长作正方形，已知$m＞n$且满足$am-bn=2$，$an+bm=4$。若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是。

解:由题意可得$a^2+b^2=3$,
$\frac{1}{2}(m+n)(m+n)=5$,
$\therefore(m+n)^2=10.$
$\because am-bn=2,an+bm=4$,
$\therefore$将两式分别平方并整理可得:
$a^2m^2-2abmn+b^2n^2=4\quad①$,
$a^2n^2+2abmn+b^2m^2=16\quad②$,
①+②整理得:$(a^2+b^2)(m^2+n^2)=20$,
$\because a^2+b^2=3$,
$\therefore m^2+n^2=\frac{20}{3}.$
$\because(m+n)^2=10$,
$\therefore(m+n)^2-(m^2+n^2)=10-\frac{20}{3}$,
整理得:$2mn=\frac{10}{3},即mn=\frac{5}{3}.$
$\therefore S_{阴}=\frac{(m+n)^2}{2}-\frac{m^2}{2}-\frac{n^2}{2}=mn=\frac{5}{3}.$

变式.已知实数$a,b,x,y$满足$ax+by=3,ay-bx=5$,求$(a^2+b^2)(x^2+y^2)$的值.

解:$\because ax+by=3\quad①$,
$ay-bx=5\quad②$,
$\therefore(ax+by)^2=9$,
即$a^2x^2+b^2y^2+2abxy=9\quad③$,
$\therefore(ay-bx)^2=25,即a^2y^2+b^2x^2-2abxy=25\quad④$,
③+④:$a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2=34$,
$\therefore(a^2+b^2)(x^2+y^2)=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=34.$