一、选择题
1. 若$\begin{cases}x = 1, \\ y = 2\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程$ax - 4y = 1$的解，则$a$的值为( )

A.9
B.$-1$
C.7
D.$-5$

A

将$\begin{cases}x = 1, \\ y = 2\end{cases}$代入方程$ax - 4y = 1$，得$a × 1 - 4 × 2 = 1$，即$a - 8 = 1$，解得$a = 9$。

2. 《九章算术》中有一个问题，翻译后的大意是：若$2$人坐一辆车，则$9$人需要步行；若 ______ ，人与车各多少？小明设有$x$辆车，人数为$y$，根据题意列方程组为$\begin{cases}y = 2x + 9, \\ y = 3(x - 2).\end{cases}$根据已有信息，题中缺失的条件应补充为( )

A.$3$人坐一辆车，则有一辆车少坐$2$人
B.$3$人坐一辆车，则$2$人需要步行
C.$3$人坐一辆车，则有两辆空车
D.$3$人坐一辆车，则还缺两辆车

C

由方程组中第二个方程$y = 3(x - 2)$可知，当每辆车坐3人时，车的数量比$x$少2，即有两辆空车。

3. 已知方程$3x - 4y = 6$，用含$x$的式子表示$y$为.

解：
已知方程$3x - 4y = 6$，
移项可得$-4y = 6 - 3x$，
两边同时除以$-4$，$y=\frac{3x - 6}{4}$。
故答案为$y=\frac{3x - 6}{4}$。

4. 若方程组$\begin{cases}3x + y = 9, \\ x + 3y = 7,\end{cases}$则$x + y =$ ______ .

4

$\begin{cases}3x + y = 9, \quad① \\ x + 3y = 7, \quad②\end{cases}$
① + ②得：$4x + 4y = 16$
两边同时除以4：$x + y = 4$

5. 小明、小华和小红三人玩飞镖游戏，各投$5$支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图所示，则小红的得分是分.

设内圆环得分为$x$，外圆环得分为$y$。
由题意，小明投中内圈$3$个，外圈$2$个，得方程：$3x + 2y = 31$；小华投中内圈$1$个，外圈$4$个，得方程：$x + 4y = 27$。
联立方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 31 \\x + 4y = 27\end{cases}$
由第二个方程得$x = 27 - 4y$，代入第一个方程：
$3(27 - 4y) + 2y = 31$
$81 - 12y + 2y = 31$
$-10y = -50$
$y = 5$
将$y = 5$代入$x = 27 - 4y$，得$x = 27 - 4×5 = 7$。
小红投中内圈$2$个，外圈$3$个，得分：$2x + 3y = 2×7 + 3×5 = 14 + 15 = 29$。
29

6. 按要求的方法，解下列方程组.
(1)用代入法解方程组：$\begin{cases} x = y - 5, \\ 4x + 3y = 29; \end{cases}$
(2)用加减法解方程组：$\begin{cases} 4x + 3y = -4, \\ 3x - 4y = -3. \end{cases}$

(1)
已知$\begin{cases}x = y - 5&①\\4x + 3y = 29&②\end{cases}$
将$①$代入$②$得：
$4(y - 5)+3y = 29$
$4y-20 + 3y = 29$
$7y=49$
$y = 7$
把$y = 7$代入$①$得：$x=7 - 5=2$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2\\y = 7\end{cases}$
(2)
已知$\begin{cases}4x + 3y = -4&①\\3x - 4y = -3&②\end{cases}$
$①×4$得：$16x+12y=-16$ $③$
$②×3$得：$9x - 12y=-9$ $④$
$③ + ④$得：
$16x+12y+9x - 12y=-16-9$
$25x=-25$
$x = -1$
把$x = -1$代入$①$得：
$-4 + 3y=-4$
$3y = 0$
$y = 0$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = -1\\y = 0\end{cases}$

7. 对于实数，规定新运算：$x * y = ax + by$，其中$a$，$b$是常数.已知$2 * 3 = 7$，$(-1) * (-3) = -5$.
(1)求$a$，$b$的值；
(2)求$1 * 5$的值.

(1)
根据新运算定义$x * y = ax + by$，由$2 * 3 = 7$可得$2a + 3b = 7$；由$(-1) * (-3) = -5$可得$-a - 3b = -5$。
联立方程组$\begin{cases}2a + 3b = 7\\-a - 3b = -5\end{cases}$
将两式相加消去$b$：$(2a + 3b)+(-a - 3b)=7 + (-5)$，即$a = 2$。
把$a = 2$代入$2a + 3b = 7$得：$2×2+3b = 7$，$4 + 3b = 7$，$3b = 3$，解得$b = 1$。
(2)
由(1)知$a = 2$，$b = 1$，新运算$x * y = 2x + y$。
当$x = 1$，$y = 5$时，$1 * 5 = 2×1 + 5=7$。
综上，答案为：(1)$a = 2$，$b = 1$；(2)$7$。