1. 若关于$x$的方程$(3-a)x^2 -5x +1=0$是一元二次方程，则$a$的值不可以为（）

A.4
B.3
C.2
D.0

1. B

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程的核心判定条件：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，其中最关键的限制是二次项系数不能为0。接下来我们只需找到题干方程的二次项系数，令其不等于0，即可求出a的取值范围，进而得到a不能取的值。
【解析】
解：根据一元二次方程的定义可知，一元二次方程的二次项系数不能为0。
题干中方程$(3-a)x^2 -5x +1=0$的二次项系数为$3-a$，
要使该方程为一元二次方程，则需满足：
$3-a≠0$
解得$a≠3$
因此a的值不可以为3，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查对一元二次方程定义的掌握，解题的核心是注意二次项系数不为0的隐含限制，避免因忽略该条件导致错误。
【难度系数】
0.9

用适当的方法解方程：
(1) $2x^2 + 3x -5=0$；
(2) $2x(5x -1)=3(5x -1)$。
解 (1) $2x^2 +3x -5=0$，
因为 $a=2$，$b=3$，$c=-5$，
所以 $\Delta = b^2 -4ac =3^2 -4×2×(-5)=49＞0$。
所以 $x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2×2}$，
解得 $x_1=-\frac{5}{2}$，$x_2=1$。
(2) 移项，
得 $2x(5x -1)-3(5x -1)=0$。
左边分解因式，
得 $(5x -1)(2x -3)=0$。
$5x -1=0$ 或 $2x -3=0$，
解得 $x_1=\frac{1}{5}$，$x_2=\frac{3}{2}$。

解：
(1) $2x^2 + 3x - 5 = 0$
$\because a=2,\ b=3,\ c=-5$
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×2×(-5) = 49 ＞ 0$
$\therefore x = \frac{-3\pm\sqrt{49}}{2×2} = \frac{-3\pm7}{4}$
解得 $x_1=1$，$x_2=-\frac{5}{2}$。
(2) 移项，得
$2x(5x-1) - 3(5x-1) = 0$
左边分解因式，得
$(5x-1)(2x-3) = 0$
$\therefore 5x-1=0$ 或 $2x-3=0$
解得 $x_1=\frac{1}{5}$，$x_2=\frac{3}{2}$。

【分析】
(1) 第一个方程是一元二次方程的一般形式，可选用公式法求解：先明确二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再计算根的判别式$\Delta$判断根的存在情况，若$\Delta＞0$，直接代入求根公式即可算出方程的解。
(2) 第二个方程左右两边含有相同的公因式$(5x-1)$，若直接两边除以该因式会丢根，因此选用因式分解法：先将右侧项移到左侧，提取公因式后把原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
(1) $2x^2 + 3x - 5 = 0$
$\because a=2,\ b=3,\ c=-5$
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×2×(-5) = 49 ＞ 0$
$\therefore x = \frac{-3\pm\sqrt{49}}{2×2} = \frac{-3\pm7}{4}$
解得 $x_1=1$，$x_2=-\frac{5}{2}$。
(2) 移项，得
$2x(5x-1) - 3(5x-1) = 0$
左边分解因式，得
$(5x-1)(2x-3) = 0$
$\therefore 5x-1=0$ 或 $2x-3=0$
解得 $x_1=\frac{1}{5}$，$x_2=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=-\frac{5}{2}$；(2) $x_1=\frac{1}{5}$，$x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题时要根据方程的结构特征灵活选择简便解法，注意处理含公共因式的方程时，不要直接除以可能为0的整式，避免出现漏根的问题。
【难度系数】
0.8

2. 解方程：
(1) $x^2 + 2x - 5 = 0$；(配方法)
(2) $2x^2 - 2x - 3 = 0$；(公式法)
(3) $x^2 - 1 = 3(x - 1)$；(因式分解法)
(4) $3x^2 + 2x = 5$.(选择适当的方法)

解 (1) 移项，得 $x^2 + 2x = 5$。
配方，得 $x^2 + 2x + 1 = 5 + 1$，$(x + 1)^2 = 6$。
由此可得 $x + 1 = \pm\sqrt{6}$。
所以 $x_1 = \sqrt{6} - 1$，$x_2 = -\sqrt{6} - 1$。
(2) 因为 $a = 2$，$b = -2$，$c = -3$，
所以 $\Delta = b^2 - 4ac = 28 ＞ 0$。
所以 $x = \frac{2\pm\sqrt{28}}{4} = \frac{2\pm2\sqrt{7}}{4} = \frac{1\pm\sqrt{7}}{2}$。
所以 $x_1 = \frac{1+\sqrt{7}}{2}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{7}}{2}$。
(3) 原方程变形为 $(x - 1)(x + 1) - 3(x - 1) = 0$。左边分解因式，得 $(x - 1)(x - 2) = 0$。所以 $x - 1 = 0$ 或 $x - 2 = 0$，解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 2$。
(4) 移项，得 $3x^2 + 2x - 5 = 0$。
所以 $a = 3$，$b = 2$，$c = -5$。
所以 $b^2 - 4ac = 2^2 - 4×3×(-5) = 64$。
所以 $x = \frac{-2\pm\sqrt{64}}{2×3} = \frac{-2\pm8}{6}$。
所以 $x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{5}{3}$。

【分析】
本题考查一元二次方程的不同解法，需按各小题指定要求或方程特点选择对应方法求解：
(1) 配方法：先把常数项移到方程右侧，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，最后开方转化为一元一次方程求解；
(2) 公式法：先确定方程一般形式中a、b、c的取值，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta＞0$，直接代入求根公式即可得解；
(3) 因式分解法：先将方程右侧项移到左侧，把左侧变形为两个一次因式乘积的形式，令每个因式为0分别求解即可；
(4) 先整理为一元二次方程一般形式，观察方程特征选择公式法求解即可。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 + 2x = 5$。
配方，得 $x^2 + 2x + 1 = 5 + 1$，即$(x + 1)^2 = 6$。
由此可得 $x + 1 = \pm\sqrt{6}$。
所以 $x_1 = \sqrt{6} - 1$，$x_2 = -\sqrt{6} - 1$。
(2) 方程$2x^2 - 2x - 3 = 0$中，$a = 2$，$b = -2$，$c = -3$，
所以 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2-4×2×(-3)=28 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得 $x = \frac{2\pm\sqrt{28}}{4} = \frac{2\pm2\sqrt{7}}{4} = \frac{1\pm\sqrt{7}}{2}$。
所以 $x_1 = \frac{1+\sqrt{7}}{2}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{7}}{2}$。
(3) 原方程变形为 $(x - 1)(x + 1) - 3(x - 1) = 0$。
左边分解因式，得 $(x - 1)(x - 2) = 0$。
所以 $x - 1 = 0$ 或 $x - 2 = 0$，解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 2$。
(4) 移项化为一般形式，得 $3x^2 + 2x - 5 = 0$。
其中$a = 3$，$b = 2$，$c = -5$，
所以判别式$b^2 - 4ac = 2^2 - 4×3×(-5) = 64＞0$，
代入求根公式得 $x = \frac{-2\pm\sqrt{64}}{2×3} = \frac{-2\pm8}{6}$。
所以 $x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) $x_1 = \sqrt{6} - 1$，$x_2 = -\sqrt{6} - 1$；
(2) $x_1 = \frac{1+\sqrt{7}}{2}$，$x_2 = \frac{1-\sqrt{7}}{2}$；
(3) $x_1 = 1$，$x_2 = 2$；
(4) $x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{5}{3}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查各类解法的规范操作步骤，掌握不同解法的适用场景，能根据要求或方程特征灵活选择方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8