【定义】圆心到弦的距离叫作弦心距.
【探究】等弧所对弦的弦心距相等.
（1）请在图①中画出图形，写出已知、求证，并完成证明.
【应用】（2）如图②，$\odot O$的弦$AB$，$CD$的延长线相交于点$P$，且$AB=CD$，连接$OP$. 求证：$OP$平分$∠ APC$.

图① 图②
（1）解 已知：如图③，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$OE$是弦$AB$的弦心距，$OF$是弦$CD$的弦心距. 求证：$OE=OF$.

图③
证明 因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，所以$AB=CD$.
因为$OE ⊥ AB$，$OF ⊥ CD$，
所以$∠ OEB=∠ OFC=90°$，
$BE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$.
所以$BE=CF$.
在$\mathrm{Rt}△ OBE$和$\mathrm{Rt}△ OCF$中，
$\begin{cases} OB=OC, \\ BE=CF. \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ OBE ≌ \mathrm{Rt}△ OCF$（HL）.
所以$OE=OF$.
（2）证明 如图④，过点$O$作$OE ⊥ AB$，$OF ⊥ CD$，垂足分别为$E$，$F$.

图④
由（1）可知$OE=OF$.
在$\mathrm{Rt}△ OPE$和$\mathrm{Rt}△ OPF$中，
$\begin{cases} OE=OF, \\ OP=OP, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ OPE ≌ \mathrm{Rt}△ OPF$（HL）.
所以$∠ OPE=∠ OPF$，
即$OP$平分$∠ APC$.

解：（1）
已知：如图③，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$OE$是弦$AB$的弦心距，$OF$是弦$CD$的弦心距。
求证：$OE=OF$。
证明：
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore AB=CD$。
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore ∠ OEB=∠ OFC=90°$，
由垂径定理得$BE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$。
$\therefore BE=CF$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$和$\mathrm{Rt}△ OCF$中，
$\begin{cases} OB=OC, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OBE≌\mathrm{Rt}△ OCF\ (\mathrm{HL})$。
$\therefore OE=OF$。
（2）证明：
如图④，过点$O$作$OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，垂足分别为$E$，$F$。
$\because AB=CD$，
$\therefore$ 由（1）的结论可得$OE=OF$。
$\because ∠ OEP=∠ OFP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OPE$和$\mathrm{Rt}△ OPF$中，
$\begin{cases} OE=OF, \\ OP=OP, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OPE≌\mathrm{Rt}△ OPF\ (\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ OPE=∠ OPF$，
即$OP$平分$∠ APC$。

【分析】
（1）第一问为文字证明题，需先将命题拆解为条件和结论，对应写出已知、求证。解题时先利用“等弧对等弦”得到两条弦长度相等，再结合弦心距的定义与垂径定理，得到两条弦的一半相等，最后通过HL判定对应的直角三角形全等，即可证得弦心距相等。
（2）第二问是第一问结论的应用，要证明OP平分∠APC，可转化为证明点O到∠APC两边的距离相等：过点O作AB、CD的垂线即两条弦的弦心距，结合已知AB=CD，利用第一问的结论得到两条弦心距相等，再通过HL证明以OP为公共边的两个直角三角形全等，得到对应角相等，即可证得OP平分∠APC。
【解析】
（1）
已知：如图③，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$OE$是弦$AB$的弦心距，$OF$是弦$CD$的弦心距。
求证：$OE=OF$。
证明：
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore AB=CD$。
$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore ∠ OEB=∠ OFC=90°$，
由垂径定理得$BE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$。
$\therefore BE=CF$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$和$\mathrm{Rt}△ OCF$中，
$\begin{cases} OB=OC, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OBE≌\mathrm{Rt}△ OCF\ (\mathrm{HL})$。
$\therefore OE=OF$。
（2）证明：
如图④，过点$O$作$OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，垂足分别为$E$，$F$。
$\because AB=CD$，
$\therefore$ 由（1）的结论可得$OE=OF$。
$\because ∠ OEP=∠ OFP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OPE$和$\mathrm{Rt}△ OPF$中，
$\begin{cases} OE=OF, \\ OP=OP, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OPE≌\mathrm{Rt}△ OPF\ (\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ OPE=∠ OPF$，
即$OP$平分$∠ APC$。
【答案】
（1）$OE=OF$，证明成立；（2）$OP$平分$∠APC$，证明成立。
【知识点】
弧弦弦心距的关系；垂径定理；HL判定全等
【点评】
本题围绕圆的基础性质展开，先引导探究弦心距的等量结论，再将结论用于角平分线的证明，既考查了文字命题转化为几何证明的能力，也考查了辅助线构造和知识迁移应用的能力，是巩固圆基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.7