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1. 若一种服装的销售盈利 $ y $（单位：万元）与销售数量 $ x $（单位：万件）满足函数关系式 $ y=-2x^2+4x+5 $，则盈利（
A.最大值为5万元
B.最大值为7万元
C.最小值为5万元
D.最小值为7万元
B
）A.最大值为5万元
B.最大值为7万元
C.最小值为5万元
D.最小值为7万元
答案
1. B
解析
【分析】
本题是二次函数在实际销售问题中的应用，解题思路如下：第一步，先判断函数类型，本题给出的是二次函数关系式，首先根据二次项系数的正负判断函数存在最大值还是最小值：二次项系数小于0时，抛物线开口向下，函数有最大值、无最小值，可直接排除最小值相关选项；第二步，通过配方法或顶点坐标公式计算二次函数的最大值，即可选出正确答案。
【解析】
对于二次函数 $y=-2x^2+4x+5$，其中二次项系数 $a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，不存在最小值，由此排除C、D选项。
用配方法将函数化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-2x^2+4x+5\\&=-2(x^2-2x)+5\\&=-2(x^2-2x+1-1)+5\\&=-2(x-1)^2 + 2 +5\\&=-2(x-1)^2 +7\end{aligned}$
当 $x=1$（符合销售数量$x≥0$的实际意义）时，$y$取得最大值，最大值为7万元，因此排除A选项。
（也可使用顶点纵坐标公式计算：$y_{\mathrm{最大值}}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-2)×5 - 4^2}{4×(-2)}=\frac{-56}{-8}=7$，结果一致。）
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数最值的基础应用题型，解题的关键是先根据二次项系数的正负判断最值类型，再选择合适的方法计算最值即可，计算时注意结合实际问题中自变量的取值范围验证结果是否合理。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际销售问题中的应用，解题思路如下：第一步，先判断函数类型，本题给出的是二次函数关系式，首先根据二次项系数的正负判断函数存在最大值还是最小值：二次项系数小于0时，抛物线开口向下，函数有最大值、无最小值，可直接排除最小值相关选项；第二步，通过配方法或顶点坐标公式计算二次函数的最大值，即可选出正确答案。
【解析】
对于二次函数 $y=-2x^2+4x+5$，其中二次项系数 $a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，不存在最小值，由此排除C、D选项。
用配方法将函数化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-2x^2+4x+5\\&=-2(x^2-2x)+5\\&=-2(x^2-2x+1-1)+5\\&=-2(x-1)^2 + 2 +5\\&=-2(x-1)^2 +7\end{aligned}$
当 $x=1$（符合销售数量$x≥0$的实际意义）时，$y$取得最大值，最大值为7万元，因此排除A选项。
（也可使用顶点纵坐标公式计算：$y_{\mathrm{最大值}}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-2)×5 - 4^2}{4×(-2)}=\frac{-56}{-8}=7$，结果一致。）
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数最值的基础应用题型，解题的关键是先根据二次项系数的正负判断最值类型，再选择合适的方法计算最值即可，计算时注意结合实际问题中自变量的取值范围验证结果是否合理。
【难度系数】
0.8
2. 如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1 m. 当喷射出的水流距离喷水头2 m时，达到最大高度1.8 m，水流喷射的最远水平距离OC的长度是（
A.6 m
B.5 m
C.4 m
D.1 m
B
）A.6 m
B.5 m
C.4 m
D.1 m
答案
2. B
解析
【分析】
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先结合题意确定抛物线的顶点坐标和经过的已知点，选择顶点式设出二次函数解析式，再代入已知点求出解析式的未知系数，最后令函数值y=0，求解得到的一元二次方程，取符合实际意义的正根，即为OC的长度。
【解析】
由题意得，抛物线的顶点坐标为$(2,1.8)$，且过点$B(0,1)$。
设抛物线的解析式为$ y = a(x-2)^2 + 1.8 $（$a≠0$），将$B(0,1)$代入解析式：
$\begin{aligned}1&=a×(0-2)^2 + 1.8\\1&=4a + 1.8\\4a&=-0.8\\a&=-0.2\end{aligned}$
因此抛物线解析式为$ y = -0.2(x-2)^2 + 1.8 $。
水流落地时$y=0$，令$y=0$得：
$\begin{aligned}0&=-0.2(x-2)^2 + 1.8\\0.2(x-2)^2&=1.8\\(x-2)^2&=9\\x-2&=\pm3\end{aligned}$
解得$x_1=5$，$x_2=-1$（水平距离为正，舍去），故OC的长度为5m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用、待定系数法求解析式、二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题的核心是准确建立函数模型，注意求解后要结合实际意义对根进行取舍，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先结合题意确定抛物线的顶点坐标和经过的已知点，选择顶点式设出二次函数解析式，再代入已知点求出解析式的未知系数，最后令函数值y=0，求解得到的一元二次方程，取符合实际意义的正根，即为OC的长度。
【解析】
由题意得，抛物线的顶点坐标为$(2,1.8)$，且过点$B(0,1)$。
设抛物线的解析式为$ y = a(x-2)^2 + 1.8 $（$a≠0$），将$B(0,1)$代入解析式：
$\begin{aligned}1&=a×(0-2)^2 + 1.8\\1&=4a + 1.8\\4a&=-0.8\\a&=-0.2\end{aligned}$
因此抛物线解析式为$ y = -0.2(x-2)^2 + 1.8 $。
水流落地时$y=0$，令$y=0$得：
$\begin{aligned}0&=-0.2(x-2)^2 + 1.8\\0.2(x-2)^2&=1.8\\(x-2)^2&=9\\x-2&=\pm3\end{aligned}$
解得$x_1=5$，$x_2=-1$（水平距离为正，舍去），故OC的长度为5m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用、待定系数法求解析式、二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题的核心是准确建立函数模型，注意求解后要结合实际意义对根进行取舍，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
3. 将三根直径为a的圆柱形钢管用铁丝捆扎，现设计了方案（1）和（2），如图所示，选用哪一种方案更省铁丝？
答案
解 方案（1）中铁丝长 $l_1=2a×2+\frac{1}{2}π×a×2=(π+4)a$。方案（2）中铁丝长 $l_2=3a+3×\frac{π}{3}×a=(π+3)a$。所以 $l_2＜l_1$。所以选择方案（2）更省铁丝。
解析
【分析】
要判断哪种方案更省铁丝，只需分别计算两个方案中捆扎铁丝的总长度，再比较大小即可。铁丝总长度由两部分构成：一是连接相邻圆的直铁丝长度，二是绕在圆外侧的弧形铁丝长度。已知钢管直径为a，相邻两圆的圆心距等于直径a，分别拆分两个方案的直边长度和弧长总和计算即可。
【解析】
设每根圆柱形钢管的直径为a。
1. 计算方案（1）的铁丝长度$l_1$：
直铁丝部分：上下各有2段长度等于直径a的线段，总长度为$2a × 2=4a$；
弧形铁丝部分：左右两侧各为半个圆的弧长，2个半圆弧长总和等于1个整圆的周长，即$\frac{1}{2}π a × 2=π a$；
因此$l_1=4a+π a=(π+4)a$。
2. 计算方案（2）的铁丝长度$l_2$：
直铁丝部分：共有3段长度等于直径a的线段，总长度为$3 × a=3a$；
弧形铁丝部分：三个角处的弧每个对应$\frac{1}{3}$个圆的周长，3段弧长总和等于1个整圆的周长，即$3 × \frac{π}{3}a=π a$；
因此$l_2=3a+π a=(π+3)a$。
比较长度：因为$π+3＜π+4$，所以$l_2＜l_1$。
【答案】选用方案（2）更省铁丝。
【知识点】
1. 圆的周长计算
2. 弧长计算
3. 周长的实际应用
【点评】
本题是贴近生活的几何应用问题，解题核心是将捆扎铁丝的长度合理拆分为直边和弧形两部分分别计算，再通过大小比较得到最优方案，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断哪种方案更省铁丝，只需分别计算两个方案中捆扎铁丝的总长度，再比较大小即可。铁丝总长度由两部分构成：一是连接相邻圆的直铁丝长度，二是绕在圆外侧的弧形铁丝长度。已知钢管直径为a，相邻两圆的圆心距等于直径a，分别拆分两个方案的直边长度和弧长总和计算即可。
【解析】
设每根圆柱形钢管的直径为a。
1. 计算方案（1）的铁丝长度$l_1$：
直铁丝部分：上下各有2段长度等于直径a的线段，总长度为$2a × 2=4a$；
弧形铁丝部分：左右两侧各为半个圆的弧长，2个半圆弧长总和等于1个整圆的周长，即$\frac{1}{2}π a × 2=π a$；
因此$l_1=4a+π a=(π+4)a$。
2. 计算方案（2）的铁丝长度$l_2$：
直铁丝部分：共有3段长度等于直径a的线段，总长度为$3 × a=3a$；
弧形铁丝部分：三个角处的弧每个对应$\frac{1}{3}$个圆的周长，3段弧长总和等于1个整圆的周长，即$3 × \frac{π}{3}a=π a$；
因此$l_2=3a+π a=(π+3)a$。
比较长度：因为$π+3＜π+4$，所以$l_2＜l_1$。
【答案】选用方案（2）更省铁丝。
【知识点】
1. 圆的周长计算
2. 弧长计算
3. 周长的实际应用
【点评】
本题是贴近生活的几何应用问题，解题核心是将捆扎铁丝的长度合理拆分为直边和弧形两部分分别计算，再通过大小比较得到最优方案，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图，用长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m.
（1）菜园的面积可以为 400 m²吗？为什么？
（2）当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
（1）菜园的面积可以为 400 m²吗？为什么？
（2）当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
答案
解 （1）设平行于墙的矩形边 BC 长为 x m，则 $x·\frac{60-x}{2}=400$。
整理得 $x^2-60x+800=0$。
解得 $x_1=20＞18$，$x_2=40＞18$，不合题意，舍去。所以菜园的面积不可以为 400 m²。
（2）设菜园的面积为 S m²，平行于墙的矩形边 BC 长为 x m。
则 $S=x·\frac{60-x}{2}=-\frac{1}{2}(x-30)^2+450$。
因为 $a=-\frac{1}{2}＜0$，所以抛物线开口向下，对称轴为 $x=30$。因为 $x≤18$，所以当 $x=18$ 时，$S_{max}=-\frac{1}{2}×(18-30)^2+450=378$。
此时 $AB=\frac{60-18}{2}=21$。
所以当矩形的长为 21 m，宽为 18 m 时，菜园的面积最大，最大面积为 378 m²。
整理得 $x^2-60x+800=0$。
解得 $x_1=20＞18$，$x_2=40＞18$，不合题意，舍去。所以菜园的面积不可以为 400 m²。
（2）设菜园的面积为 S m²，平行于墙的矩形边 BC 长为 x m。
则 $S=x·\frac{60-x}{2}=-\frac{1}{2}(x-30)^2+450$。
因为 $a=-\frac{1}{2}＜0$，所以抛物线开口向下，对称轴为 $x=30$。因为 $x≤18$，所以当 $x=18$ 时，$S_{max}=-\frac{1}{2}×(18-30)^2+450=378$。
此时 $AB=\frac{60-18}{2}=21$。
所以当矩形的长为 21 m，宽为 18 m 时，菜园的面积最大，最大面积为 378 m²。
解析
【分析】
本题是矩形面积相关的实际应用题，解题需结合方程与二次函数知识，同时注意墙长对边长的限制：
1. 解决第一问时，先设平行于墙的边长为x m，可推出垂直于墙的边长为$\frac{60-x}{2}$m，根据面积为400$m^2$列一元二次方程，求解后验证x是否满足“x≤18”的限制，即可判断是否可行。
2. 解决第二问时，先将面积S表示为关于x的二次函数，结合二次函数的增减性和x的取值范围，即可求出最大面积及对应边长。
【解析】
（1）设平行于墙的边BC长为$x$ m（$0＜x≤18$），则垂直于墙的边长为$\frac{60-x}{2}$ m。
若菜园面积为400$m^2$，列方程得：
$x·\frac{60-x}{2}=400$
整理得：$x^2-60x+800=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=40$
$\because 20＞18$，$40＞18$，均不符合墙长限制，全部舍去
$\therefore$ 菜园的面积不可以为400$m^2$。
（2）设菜园的面积为$S$ $m^2$，平行于墙的边BC长为$x$ m（$0＜x≤18$），则：
$S=x·\frac{60-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+30x=-\frac{1}{2}(x-30)^2+450$
$\because a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=30$
$\therefore$ 在$x≤18$的范围内，S随x的增大而增大
$\therefore$ 当$x=18$时，S取得最大值：
$S_{max}=-\frac{1}{2}×(18-30)^2+450=378$
此时垂直于墙的边长$AB=\frac{60-18}{2}=21$ m
【答案】
（1）菜园的面积不可以为$400\ \mathrm{m}^2$，因为求得的边长均超过墙长18 m，不符合实际；
（2）当矩形的长为21 m，宽为18 m时，菜园的面积最大，最大面积是$378\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 二次函数最值求解
3. 实际问题自变量取值范围
【点评】
本题是典型的实际场景下的代数应用题，解题的核心是准确根据题意建立方程或函数关系，尤其要注意实际问题中自变量的取值限制，求解二次函数最值时需结合取值范围判断，不能直接套用顶点值，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
本题是矩形面积相关的实际应用题，解题需结合方程与二次函数知识，同时注意墙长对边长的限制：
1. 解决第一问时，先设平行于墙的边长为x m，可推出垂直于墙的边长为$\frac{60-x}{2}$m，根据面积为400$m^2$列一元二次方程，求解后验证x是否满足“x≤18”的限制，即可判断是否可行。
2. 解决第二问时，先将面积S表示为关于x的二次函数，结合二次函数的增减性和x的取值范围，即可求出最大面积及对应边长。
【解析】
（1）设平行于墙的边BC长为$x$ m（$0＜x≤18$），则垂直于墙的边长为$\frac{60-x}{2}$ m。
若菜园面积为400$m^2$，列方程得：
$x·\frac{60-x}{2}=400$
整理得：$x^2-60x+800=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=40$
$\because 20＞18$，$40＞18$，均不符合墙长限制，全部舍去
$\therefore$ 菜园的面积不可以为400$m^2$。
（2）设菜园的面积为$S$ $m^2$，平行于墙的边BC长为$x$ m（$0＜x≤18$），则：
$S=x·\frac{60-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+30x=-\frac{1}{2}(x-30)^2+450$
$\because a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=30$
$\therefore$ 在$x≤18$的范围内，S随x的增大而增大
$\therefore$ 当$x=18$时，S取得最大值：
$S_{max}=-\frac{1}{2}×(18-30)^2+450=378$
此时垂直于墙的边长$AB=\frac{60-18}{2}=21$ m
【答案】
（1）菜园的面积不可以为$400\ \mathrm{m}^2$，因为求得的边长均超过墙长18 m，不符合实际；
（2）当矩形的长为21 m，宽为18 m时，菜园的面积最大，最大面积是$378\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 二次函数最值求解
3. 实际问题自变量取值范围
【点评】
本题是典型的实际场景下的代数应用题，解题的核心是准确根据题意建立方程或函数关系，尤其要注意实际问题中自变量的取值限制，求解二次函数最值时需结合取值范围判断，不能直接套用顶点值，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
5. 根据以下素材，探索完成任务：
【如何确定服务驿站序号】
素材1：某快递公司在A站与B站之间共设有30个服务驿站（包括A站、B站），一辆快递货车从A站出发，依次途经各站驶往B站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个。已知该快递货车在第1个服务驿站（即A站）启程时装载的货包总数为$(30-1)=29$（个），在第2个服务驿站启程时装载的货包总数为$(30-1)-1+(30-2)=2×(30-2)=56$（个）。
素材2：快递货车在服务驿站C站启程时，快递货车装载的货包总数为125个。
【问题解决】
（1）该快递货车在第3个服务驿站启程时装载的货包总数为
（2）设$x$代表从A站到B站依次经过的服务驿站序号，则该快递货车在第$x$个服务驿站启程时装载的货包总数为
（3）服务驿站C站处在从A站到B站中的第几站？
【如何确定服务驿站序号】
素材1：某快递公司在A站与B站之间共设有30个服务驿站（包括A站、B站），一辆快递货车从A站出发，依次途经各站驶往B站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个。已知该快递货车在第1个服务驿站（即A站）启程时装载的货包总数为$(30-1)=29$（个），在第2个服务驿站启程时装载的货包总数为$(30-1)-1+(30-2)=2×(30-2)=56$（个）。
素材2：快递货车在服务驿站C站启程时，快递货车装载的货包总数为125个。
【问题解决】
（1）该快递货车在第3个服务驿站启程时装载的货包总数为
81
个；该快递货车在第4个服务驿站启程时装载的货包总数为104
个；（2）设$x$代表从A站到B站依次经过的服务驿站序号，则该快递货车在第$x$个服务驿站启程时装载的货包总数为
(-x²+30x)
个；（3）服务驿站C站处在从A站到B站中的第几站？
答案
5. 解 （1）81 104 （2）$(-x^2+30x)$ （3）设服务驿站 C 站处在从 A 站到 B 站中的第 n 站。由（2）得 $-n^2+30n=125$。解得 $n=5$ 或 $n=25$。所以服务驿站 C 站处在从 A 站到 B 站中的第 5 站或第 25 站。
解析
【分析】
（1）根据素材给出的前两站货包总数的计算逻辑：每到第x个站启程时，货包总数=前一站启程的货包总数 - 卸下的前面(x-1)个站发往本站的(x-1)个货包 + 装上的本站发往后面(30-x)个站的(30-x)个货包，按此逻辑计算第3、4站的货包数即可。（2）通过前4站的计算结果找规律，推导第x站启程时货包总数的代数式并化简。（3）将货包总数125代入（2）的代数式得到一元二次方程，求解后验证根是否符合驿站序号的取值范围，即可得到C站的序号。
【解析】
（1）已知第2站启程时货包总数为56个：
第3站启程时，需卸下前面2个站发往第3站的共2个货包，再装上第3站发往后面$30-3=27$个站的共27个货包，总数为$56-2+27=81$（个）；
第4站启程时，需卸下前面3个站发往第4站的共3个货包，再装上第4站发往后面$30-4=26$个站的共26个货包，总数为$81-3+26=104$（个）。
（2）观察前几站的计算结果：
第1站：$1×(30-1)=29$，第2站：$2×(30-2)=56$，第3站：$3×(30-3)=81$，第4站：$4×(30-4)=104$，
可得第x站启程时货包总数为$x(30-x)=-x^2+30x$（x为1≤x≤30的正整数）。
（3）设服务驿站C站处在第n站，根据题意列方程：
$-n^2+30n=125$
整理得$n^2-30n+125=0$
因式分解得$(n-5)(n-25)=0$
解得$n_1=5$，$n_2=25$，两个解均满足$1≤ n≤30$，符合实际意义。
【答案】
（1）$\boldsymbol{81}$，$\boldsymbol{104}$；（2）$\boldsymbol{-x^2+30x}$；（3）服务驿站C站处在从A站到B站中的第5站或第25站。
【知识点】
规律探究，列代数式，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了学生归纳规律、列代数式的能力，也考查了一元二次方程的解法及实际应用，解题时需注意求解方程后验证根是否符合实际取值范围，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
（1）根据素材给出的前两站货包总数的计算逻辑：每到第x个站启程时，货包总数=前一站启程的货包总数 - 卸下的前面(x-1)个站发往本站的(x-1)个货包 + 装上的本站发往后面(30-x)个站的(30-x)个货包，按此逻辑计算第3、4站的货包数即可。（2）通过前4站的计算结果找规律，推导第x站启程时货包总数的代数式并化简。（3）将货包总数125代入（2）的代数式得到一元二次方程，求解后验证根是否符合驿站序号的取值范围，即可得到C站的序号。
【解析】
（1）已知第2站启程时货包总数为56个：
第3站启程时，需卸下前面2个站发往第3站的共2个货包，再装上第3站发往后面$30-3=27$个站的共27个货包，总数为$56-2+27=81$（个）；
第4站启程时，需卸下前面3个站发往第4站的共3个货包，再装上第4站发往后面$30-4=26$个站的共26个货包，总数为$81-3+26=104$（个）。
（2）观察前几站的计算结果：
第1站：$1×(30-1)=29$，第2站：$2×(30-2)=56$，第3站：$3×(30-3)=81$，第4站：$4×(30-4)=104$，
可得第x站启程时货包总数为$x(30-x)=-x^2+30x$（x为1≤x≤30的正整数）。
（3）设服务驿站C站处在第n站，根据题意列方程：
$-n^2+30n=125$
整理得$n^2-30n+125=0$
因式分解得$(n-5)(n-25)=0$
解得$n_1=5$，$n_2=25$，两个解均满足$1≤ n≤30$，符合实际意义。
【答案】
（1）$\boldsymbol{81}$，$\boldsymbol{104}$；（2）$\boldsymbol{-x^2+30x}$；（3）服务驿站C站处在从A站到B站中的第5站或第25站。
【知识点】
规律探究，列代数式，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了学生归纳规律、列代数式的能力，也考查了一元二次方程的解法及实际应用，解题时需注意求解方程后验证根是否符合实际取值范围，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
