22. 如图,在四边形 $ A B C D $ 中, $ ∠ A B C = 30 ^ { \circ } , ∠ A D C = 60 ^ { \circ } , A D = C D $.
求证: $ B D ^ { 2 } = A B ^ { 2 } + B C ^ { 2 } $.

提示:构建以AB,BC两线段为直角边的直角三角形

23. 如图,在 $ △ A B C $ 中, $ C E $ 是高, $ D $ 是 $ A B $ 的中点, $ ∠ B = 45 ^ { \circ } $.
求证: $ A C ^ { 2 } = 2 ( A D ^ { 2 } + D E ^ { 2 } ) $.

AC²=CE²+AE²=BE²+(AD-DE)²=(BD+DE)²+(AD-DE)²=2(AD+DE)

24. 已知四边形 $ A B C D $ 是正方形,点 $ M $ 为 $ A B $ 的中点, $ E $ 为 $ A D $ 上一点,且 $ A E = \frac { 1 } { 4 } A D $.
求证: $ △ E M C $ 是直角三角形.

本题可设正方形边长为$4a$，根据勾股定理分别求出$EM^{2}$、$MC^{2}$、$EC^{2}$，再验证$EM^{2}+MC^{2}=EC^{2}$是否成立，若成立则$△ EMC$是直角三角形。
- 步骤一：分别表示出$AE$、$AM$、$MB$、$BC$、$DE$的长度
设正方形$ABCD$的边长为$4a$，因为点$M$为$AB$的中点，$E$为$AD$上一点，且$AE = \frac { 1 } { 4 } AD$，所以可得：
$AE = \frac{1}{4}×4a = a$，$AM = MB = \frac{1}{2}×4a = 2a$，$BC = 4a$，$DE = AD - AE = 4a - a = 3a$。
- 步骤二：根据勾股定理分别求出$EM^{2}$、$MC^{2}$、$EC^{2}$
在$Rt△ AEM$中，根据勾股定理$EM^{2}=AE^{2}+AM^{2}$，将$AE = a$，$AM = 2a$代入可得：
$EM^{2}=a^{2}+(2a)^{2}=a^{2}+4a^{2}=5a^{2}$
在$Rt△ MBC$中，根据勾股定理$MC^{2}=MB^{2}+BC^{2}$，将$MB = 2a$，$BC = 4a$代入可得：
$MC^{2}=(2a)^{2}+(4a)^{2}=4a^{2}+16a^{2}=20a^{2}$
在$Rt△ EDC$中，根据勾股定理$EC^{2}=DE^{2}+DC^{2}$，将$DE = 3a$，$DC = 4a$代入可得：
$EC^{2}=(3a)^{2}+(4a)^{2}=9a^{2}+16a^{2}=25a^{2}$
- 步骤三：验证$EM^{2}+MC^{2}=EC^{2}$是否成立
将$EM^{2}=5a^{2}$，$MC^{2}=20a^{2}$，$EC^{2}=25a^{2}$代入$EM^{2}+MC^{2}$可得：
$EM^{2}+MC^{2}=5a^{2}+20a^{2}=25a^{2}$
因为$25a^{2}=EC^{2}$，即$EM^{2}+MC^{2}=EC^{2}$，根据勾股定理的逆定理可知$△ EMC$是直角三角形。
综上，可证得$△ EMC$是直角三角形。