在数学领域里,不等式知识占有广阔的天地.两个体重不同的孩子玩跷跷板,孩子体重大的一端往下沉,不等式和这种情况就很相像.在实际生活中,比较哪种消费方式更便宜时,也会用到不等式.
“钱”去哪里了？
——一个悖论引起的思考
在一家文具商店里,有1元钱3张的贴画,也有1元钱2张的贴画.这一天,卖出了30张1元钱3张的贴画,收入10元;卖出了30张1元钱2张的贴画,收入15元.所以,这天一共收入25元.
第二天,老板又拿出60张贴画放在了柜台上.他想:“何必将两种贴画分开卖呢?既然30张贴画是1元钱3张,30张贴画是1元钱2张,我干吗不把60张贴画放在一起,按2元5张来卖呢?这不是一样的吗?”
可是,到了晚上,60张贴画虽然都按2元5张的价格卖出去了,但收到的钱却只有24元.
奇怪!那1元钱到哪儿去了?难道是多找了顾客钱吗?
如果你也认为“两种贴画放在一起,每5张卖2元钱,和分开来一种卖2张1元钱,一种卖3张1元钱”是“同样的”,这就搞错了.因为没有任何道理能说明两种卖法应该收入同样的钱数.
如果我把价格调一下,结果会怎样呢?
假定贵一些的贴画卖2元钱3张,或者说每张贴画的价格是$\frac{2}{3}$元.较便宜的贴画卖1元钱2张,或者说每张$\frac{1}{2}$元.如果把这两种贴画混合卖,就应该是卖3元钱5张.
假设每种仍然有30张,如前面一样,分开来卖,会得到35元,可是合起来卖60张,却得到了36元.
嘿!这回老板反而多得了1元,而不是少了1元!这是怎么回事呢?

解：
1. 解释第一种情况少1元的原因：
1元3张的贴画单价为$\frac{1}{3}$元/张，1元2张的贴画单价为$\frac{1}{2}$元/张。
分开售卖时，60张贴画的总收入为$30×\frac{1}{3} + 30×\frac{1}{2}=25$元，加权平均单价为$\frac{25}{60}=\frac{5}{12}$元/张。
混合按2元5张售卖时，统一单价为$\frac{2}{5}$元/张。
因为$\frac{2}{5}=\frac{24}{60}＜\frac{25}{60}=\frac{5}{12}$，总售价差值为$60×(\frac{5}{12}-\frac{2}{5})=1$元，所以混合售卖总收入比分开卖少1元。
2. 解释第二种情况多1元的原因：
单价为$\frac{2}{3}$元/张的贵贴画和单价为$\frac{1}{2}$元/张的便宜贴画，分开售卖时总收入为$30×\frac{2}{3}+30×\frac{1}{2}=35$元，加权平均单价为$\frac{35}{60}=\frac{7}{12}$元/张。
混合按3元5张售卖时，统一单价为$\frac{3}{5}$元/张。
因为$\frac{3}{5}=\frac{36}{60}＞\frac{35}{60}=\frac{7}{12}$，总售价差值为$60×(\frac{3}{5}-\frac{7}{12})=1$元，所以混合售卖总收入比分开卖多1元。
本质是老板误以为混合约定的单价等于两种贴画分开售卖的加权平均单价，实际上二者并不相等，因此两种卖法的总收入自然存在差异。