1. 甲、乙两名同学从 400 m 环形跑道上的某一点同时背向出发，分别以 2 m/s 和 3 m/s 的速度慢跑.6 s后，一只小狗从甲处以 6 m/s 的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以 6 m/s 的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，则小狗一共跑了 m.

设甲、乙两人经过x s第一次相遇，则小狗跑了(x-6)s. 由题意，得(2+3)x=400，解得x=80，则6(x-6)=6×(80-6)=444. 故小狗一共跑了444 m.

2. 解方程:$\frac{1}{9}\{ \frac{1}{7}[ \frac{1}{5}( \frac{x+2}{3} +4 )+6 ]+8 \}=1.$

两边都乘9，得$\frac{1}{7}[\frac{1}{5}(\frac{x+2}{3}+4)+6]+8=9$.移项、合并同类项，得$\frac{1}{7}[\frac{1}{5}(\frac{x+2}{3}+4)+6]=1$.两边都乘7，得$\frac{1}{5}(\frac{x+2}{3}+4)+6=7$. 移项、合并同类项，得$\frac{1}{5}(\frac{x+2}{3}+4)=1$.两边都乘5，得$\frac{x+2}{3}+4=5$.移项、合并同类项，得$\frac{x+2}{3}=1$. 去分母，得x+2=3. 移项、合并同类项，得x=1.

3. 解下列关于$x$的方程：
(1) $ax - 8 = 4x + b$（其中$a≠4$）；
(2) $mx - 1 = nx$；
(3) $\frac{1}{3}m(x - n) = \frac{1}{4}(x + 2m)$。

(1) 移项、合并同类项，得$(a-4)x=b+8$. 因为$a≠4$，所以$a-4≠0$，所以方程的解为$x=\frac{b+8}{a-4}$.
(2) 移项、合并同类项，得$(m-n)x=1$. ① 当$m=n$时，$m-n=0$，方程无解；② 当$m≠n$时，$m-n≠0$，方程的解为$x=\frac{1}{m-n}$.
(3) 去括号，得$\frac{1}{3}mx-\frac{1}{3}mn=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}m$.移项、合并同类项，得$(\frac{1}{3}m-\frac{1}{4})x=\frac{1}{3}mn+\frac{1}{2}m$. ① 当$\frac{1}{3}m-\frac{1}{4}=0,\frac{1}{3}mn+\frac{1}{2}m=0$，即$m=\frac{3}{4},n=-\frac{3}{2}$时，方程有无数个解，且解为任意数；② 当$\frac{1}{3}m-\frac{1}{4}=0$，$\frac{1}{3}mn+\frac{1}{2}m≠0$，即$m=\frac{3}{4},n≠-\frac{3}{2}$时，方程无解；③ 当$\frac{1}{3}m-\frac{1}{4}≠0$，即$m≠\frac{3}{4}$时，方程有唯一解$x=\frac{\frac{1}{3}mn+\frac{1}{2}m}{\frac{1}{3}m-\frac{1}{4}}=\frac{4mn+6m}{4m-3}$.

4. 已知关于 $ x $ 的方程 $\frac{x - a - b}{c} + \frac{x - b - c}{a} + \frac{x - a - c}{b} = 3$，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≠ 0$，求该方程的解.（用含 $ a $，$ b $，$ c $ 的代数式表示）

拆项、移项，得$\frac{x-a-b}{c}-1+\frac{x-b-c}{a}-1+\frac{x-a-c}{b}-1=0$，则$\frac{x-(a+b+c)}{c}+\frac{x-(b+c+a)}{a}+\frac{x-(a+c+b)}{b}=0$，即$\frac{x}{c}-\frac{a+b+c}{c}+\frac{x}{a}-\frac{b+c+a}{a}+\frac{x}{b}-\frac{a+c+b}{b}=0$，即$\frac{x}{c}+\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=\frac{a+b+c}{c}+\frac{b+c+a}{a}+\frac{a+c+b}{b}$，即$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})x=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$. 因为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≠0$，所以该方程的解为$x=a+b+c$.

5. 一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2 h后，一辆轿车从甲地出发沿相同路线去追这辆卡车，轿车的速度比卡车快30 km/h，但轿车行驶1 h后突遇故障，修理15 min后，又上路追这辆卡车，且速度减少了$\frac{1}{3}$，结果又用2 h才追上这辆卡车，求卡车的速度.（卡车未到达乙地）

设卡车的速度为x km/h，则轿车原来的速度为(x+30)km/h，修理后的速度为$\frac{2}{3}(x+30)$km/h. 由题意，得$2x+x+\frac{15}{60}x+2x=(x+30)×1+\frac{2}{3}(x+30)×2$，解得x=24. 故卡车的速度为24 km/h.

6. 新素养 应用意识 某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加，若开放一个检票口，则检票口前的队伍需要20 min才消失；若同时开放两个检票口，则队伍只需8 min就消失。已知检票的速度是一定的，则同时开放三个检票口，队伍要几分钟消失？

设检票开始时，等候检票的人数为a，每个检票口每分钟检票x人，排队的人数每分钟增加y，则$\frac{a}{x-y}=20$，$\frac{a}{2x-y}=8$. 消去a，得20(x-y)=8(2x-y). 化简，得x=3y. 故同时开放三个检票口，等候检票的队伍消失的时间是$\frac{a}{3x-y}=\frac{20(x-y)}{3x-y}=\frac{20(3y-y)}{3×3y-y}=\frac{40y}{8y}=5(\min)$.