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8.(2025·罗定期末)如图，AD，BC相交于点F，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2=35°.若AB//ED，则∠BFD的度数是 (
A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
B
)A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
答案
8.B
解析
【分析】
解题时先从已知角相等入手，通过角的和差得到三角形全等所需的相等夹角，结合已知的两组边相等，用SAS判定定理证明三角形全等，得到对应角相等；再根据平行线的性质传递角的关系，最后利用三角形外角的性质即可求出目标角的度数。
【解析】
解：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即$∠ BAC=∠ DAE$，
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AB=AD \\∠ BAC=∠ DAE \\AC=AE\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ B=∠ D$，
∵$AB// ED$，
∴$∠ D=∠ BAD=∠1=35°$，
∴$∠ B=∠ BAD=35°$，
∵$∠ BFD$是$△ ABF$的外角，
∴$∠ BFD=∠ B+∠ BAD=35°+35°=70°$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是先推导相等夹角证明三角形全等，再结合平行线性质得到角的等量关系，最终利用外角性质求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知角相等入手，通过角的和差得到三角形全等所需的相等夹角，结合已知的两组边相等，用SAS判定定理证明三角形全等，得到对应角相等；再根据平行线的性质传递角的关系，最后利用三角形外角的性质即可求出目标角的度数。
【解析】
解：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即$∠ BAC=∠ DAE$，
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AB=AD \\∠ BAC=∠ DAE \\AC=AE\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ B=∠ D$，
∵$AB// ED$，
∴$∠ D=∠ BAD=∠1=35°$，
∴$∠ B=∠ BAD=35°$，
∵$∠ BFD$是$△ ABF$的外角，
∴$∠ BFD=∠ B+∠ BAD=35°+35°=70°$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是先推导相等夹角证明三角形全等，再结合平行线性质得到角的等量关系，最终利用外角性质求解。
【难度系数】
0.7
9.(2025·南昌期末)如图，CA平分∠BCD，BC=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠CAE=55°，则∠BAE的度数为（
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
C
）A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
答案
9.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由CA平分∠BCD可得一组等角，结合已知BC=CD、公共边AC，可利用SAS判定△ABC≌△ADC，得到对应角∠BAC=∠DAC；再根据平角的定义求出∠DAC的度数，即可得到∠BAC的度数，最后用∠BAC减去∠CAE的度数就能求出∠BAE的大小。
【解析】
解：
1.
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA。
2. 在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}BC=DC(\mathrm{已知})\\ ∠ BCA=∠ DCA(\mathrm{已证})\\ AC=AC(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SAS）。
3. 由全等三角形的对应角相等，得∠BAC=∠DAC。
4.
∵D、A、E三点共线，
∴∠DAC+∠CAE=180°（平角的定义），已知∠CAE=55°，
∴∠DAC=180°-55°=125°，则∠BAC=125°。
5.
∴∠BAE=∠BAC - ∠CAE=125°-55°=70°。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，SAS判定三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是通过已知条件证明三角形全等，得到对应角的等量关系，再结合平角的性质计算所求角度，能有效考查学生对全等三角形相关知识的掌握程度和简单的角度计算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先由CA平分∠BCD可得一组等角，结合已知BC=CD、公共边AC，可利用SAS判定△ABC≌△ADC，得到对应角∠BAC=∠DAC；再根据平角的定义求出∠DAC的度数，即可得到∠BAC的度数，最后用∠BAC减去∠CAE的度数就能求出∠BAE的大小。
【解析】
解：
1.
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA。
2. 在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}BC=DC(\mathrm{已知})\\ ∠ BCA=∠ DCA(\mathrm{已证})\\ AC=AC(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SAS）。
3. 由全等三角形的对应角相等，得∠BAC=∠DAC。
4.
∵D、A、E三点共线，
∴∠DAC+∠CAE=180°（平角的定义），已知∠CAE=55°，
∴∠DAC=180°-55°=125°，则∠BAC=125°。
5.
∴∠BAE=∠BAC - ∠CAE=125°-55°=70°。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，SAS判定三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是通过已知条件证明三角形全等，得到对应角的等量关系，再结合平角的性质计算所求角度，能有效考查学生对全等三角形相关知识的掌握程度和简单的角度计算能力。
【难度系数】
0.7
10.(2025·巢湖期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D是边BC上的一点,连接AD,以AD为边作△ADE,使AE=AD,且∠DAE=∠BAC,连接EC,若BD=2,求EC的长.
答案
10.$\because ∠ DAE=∠ BAC,\therefore ∠ DAE-∠ CAD=∠ BAC-∠ CAD,\therefore ∠ CAE=∠ BAD$,在$△ CAE$和$△ BAD$中,$\begin{cases} AE=AD, \\ ∠ CAE=∠ BAD, \\ AC=AB, \end{cases}$$\therefore △ CAE≌△ BAD(\mathrm{SAS}),\therefore EC=BD=2$
解析
【分析】
要计算EC的长度，我们可以通过证明三角形全等将EC和已知长度的BD建立联系。首先观察已知条件：题目给出两组等边AB=AC、AE=AD，还有一组等角∠DAE=∠BAC，首先我们可以对两个等角同时减去公共角∠CAD，得到△CAE和△BAD的一组对应夹角相等；再结合已知的两组等边，即可用SAS判定两个三角形全等；最后根据全等三角形对应边相等的性质，就能得到EC和BD相等，从而求出EC的长度。
【解析】
解：$\because ∠DAE=∠BAC$，
$\therefore ∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD$，
即$∠CAE=∠BAD$。
在$△CAE$和$△BAD$中，
$\begin{cases} AE=AD, \\ ∠CAE=∠BAD, \\ AC=AB, \end{cases}$
$\therefore △CAE≌△BAD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore EC=BD$，
$\because BD=2$，
$\therefore EC=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形应用的常规基础题，解题核心是通过等角减去公共角得到全等所需的相等夹角，再利用边角边判定定理证明三角形全等，从而实现未知线段向已知线段的转化，解题逻辑清晰，是全等三角形应用的典型考法。
【难度系数】
0.8
要计算EC的长度，我们可以通过证明三角形全等将EC和已知长度的BD建立联系。首先观察已知条件：题目给出两组等边AB=AC、AE=AD，还有一组等角∠DAE=∠BAC，首先我们可以对两个等角同时减去公共角∠CAD，得到△CAE和△BAD的一组对应夹角相等；再结合已知的两组等边，即可用SAS判定两个三角形全等；最后根据全等三角形对应边相等的性质，就能得到EC和BD相等，从而求出EC的长度。
【解析】
解：$\because ∠DAE=∠BAC$，
$\therefore ∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD$，
即$∠CAE=∠BAD$。
在$△CAE$和$△BAD$中，
$\begin{cases} AE=AD, \\ ∠CAE=∠BAD, \\ AC=AB, \end{cases}$
$\therefore △CAE≌△BAD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore EC=BD$，
$\because BD=2$，
$\therefore EC=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形应用的常规基础题，解题核心是通过等角减去公共角得到全等所需的相等夹角，再利用边角边判定定理证明三角形全等，从而实现未知线段向已知线段的转化，解题逻辑清晰，是全等三角形应用的典型考法。
【难度系数】
0.8
11.(2025·渝北期末)如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.BE⊥AC,垂足为G,AB=CF,BE=AC.
(1)求证:AE=FA;
(2)求∠EAF的度数.
(1)求证:AE=FA;
(2)求∠EAF的度数.
答案
11.(1)$\because CD⊥ AB,BE⊥ AC,\therefore ∠ CAD+∠ ACD=∠ CAD+∠ EBA=90°,\therefore ∠ ACD=∠ EBA$,在$△ AEB$和$△ FAC$中,$\begin{cases} AB=FC, \\ ∠ EBA=∠ ACF, \\ BE=CA, \end{cases}$$\therefore △ AEB≌△ FAC(\mathrm{SAS}),\therefore AE=FA$
(2)$\because △ AEB≌△ FAC,\therefore ∠ E=∠ CAF$,$\because ∠ E+∠ EAG=90°,\therefore ∠ CAF+∠ EAG=90°$,即$∠ EAF=90°$
(2)$\because △ AEB≌△ FAC,\therefore ∠ E=∠ CAF$,$\because ∠ E+∠ EAG=90°,\therefore ∠ CAF+∠ EAG=90°$,即$∠ EAF=90°$
解析
【分析】
(1)要证明AE=FA，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先根据CD⊥AB、BE⊥AC的垂直条件，利用同角的余角相等推出∠ACD=∠EBA，再结合题目给出的AB=CF、BE=AC的边相等条件，可通过SAS判定△AEB和△FAC全等，即可得到AE=FA。
(2)求∠EAF的度数，可利用(1)中全等三角形的对应角相等，得到∠E=∠CAF，再结合BE⊥AC得到Rt△AEG中∠E+∠EAG=90°，通过等量代换即可推出∠EAF的度数。
【解析】
(1)证明：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AGE=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CAD+∠EBA=90°，
∴∠ACD=∠EBA（同角的余角相等）。
在△AEB和△FAC中，
$\begin{cases} AB=FC, \\ ∠EBA=∠ACF, \\ BE=CA, \end{cases}$
∴△AEB≌△FAC(SAS)，
∴AE=FA。
(2)解：
∵△AEB≌△FAC，
∴∠E=∠CAF（全等三角形对应角相等）。
∵BE⊥AC，
∴∠E+∠EAG=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠CAF+∠EAG=90°，
即∠EAF=90°。
【答案】
(1)AE=FA得证；
(2)$\boldsymbol{∠EAF=90°}$
【知识点】
全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题是三角形全等的典型应用题目，解题核心是借助垂直关系推导等角，结合已知边的条件构造全等三角形，再利用全等的性质推导边和角的关系，能很好地考查学生对全等判定和性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AE=FA，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先根据CD⊥AB、BE⊥AC的垂直条件，利用同角的余角相等推出∠ACD=∠EBA，再结合题目给出的AB=CF、BE=AC的边相等条件，可通过SAS判定△AEB和△FAC全等，即可得到AE=FA。
(2)求∠EAF的度数，可利用(1)中全等三角形的对应角相等，得到∠E=∠CAF，再结合BE⊥AC得到Rt△AEG中∠E+∠EAG=90°，通过等量代换即可推出∠EAF的度数。
【解析】
(1)证明：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AGE=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CAD+∠EBA=90°，
∴∠ACD=∠EBA（同角的余角相等）。
在△AEB和△FAC中，
$\begin{cases} AB=FC, \\ ∠EBA=∠ACF, \\ BE=CA, \end{cases}$
∴△AEB≌△FAC(SAS)，
∴AE=FA。
(2)解：
∵△AEB≌△FAC，
∴∠E=∠CAF（全等三角形对应角相等）。
∵BE⊥AC，
∴∠E+∠EAG=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠CAF+∠EAG=90°，
即∠EAF=90°。
【答案】
(1)AE=FA得证；
(2)$\boldsymbol{∠EAF=90°}$
【知识点】
全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题是三角形全等的典型应用题目，解题核心是借助垂直关系推导等角，结合已知边的条件构造全等三角形，再利用全等的性质推导边和角的关系，能很好地考查学生对全等判定和性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
