1. [2026芜湖期末]如图1是一只葡萄酒杯，其杯体的轴截面近似抛物线，若$AB=4$，$CD=3$，以顶点$C$为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（）


A.$y=\frac{3}{4}x^2$
B.$y=\frac{3}{16}x^2$
C.$y=-\frac{3}{4}x^2$
D.$y=-\frac{3}{16}x^2$

1. A $\because AB=4,CD=3,\therefore B(2,3)$. 设抛物线的表达式为$y=ax^2$,将点B的坐标代入,得$3=4a$,解得$a=\frac{3}{4}$,$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=\frac{3}{4}x^2$.

2. [2026亳州期末]如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度$AB=8$ m，然后用一根长为4 m的小竹竿$CD$竖直地接触地面和门的内壁，并测得$AC=1$ m，则门高$OE$为（）

A.9 m
B.$\frac{64}{7}$ m
C.8.7 m
D.9.3 m

2. B 由题意可得抛物线经过点$A(-4,0),B(4,0),D(-3,4)$,设抛物线的表达式为$y=a(x+4)(x-4)$,把$D(-3,4)$代入,得$4=a(-3+4)(-3-4)$,解得$a=-\frac{4}{7}$,$\therefore y=-\frac{4}{7}(x+4)(x-4)$,令$x=0$,得$y=\frac{64}{7}$,$\therefore$ 门高$OE$为$\frac{64}{7}$ m.

3. [2024甘肃中考]如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作抛物线的一部分,如图2是棚顶的竖直高度$y$(单位:m)与距离停车棚支柱$AO$的水平距离$x$(单位:m)近似满足函数关系$y = -0.02x^2 + 0.3x + 1.6$的图象,点$B(6,2.68)$在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长$CD = 4$ m,高$DE = 1.8$ m的矩形,则可判定货车完全停到车棚内.(填“能”或“不能”)

3. 能 假设$DE$刚好在点$B$的正下方. $\because CD=4,B(6,2.68),\therefore OC=6-4=2$. 对于$y=-0.02x^2+0.3x+1.6$,当$x=2$时,$y=2.12$. $\because 2.12＞1.8$,$\therefore$ 货车能完全停到车棚内.

4. 一题多解 [2026蚌埠六中期中]如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，则水面下降米，水面宽8米.

4. $\frac{14}{9}$ 通解 建立如图1所示的平面直角坐标系. 设抛物线的表达式为$y=ax^2$. 将$(3,-2)$代入$y=ax^2$,得$9a=-2$,解得$a=-\frac{2}{9}$,$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{2}{9}x^2$. 当$x=4$时,$y=-\frac{32}{9}$,$\therefore$ 水面下降$-2-(-\frac{32}{9})=\frac{14}{9}$(米).
另解 以水面所在的直线$AB$为$x$轴,以过拱顶$C$且垂直于$AB$的直线为$y$轴建立如图2所示的平面直角坐标系,$O$为原点. 由题意可得$AO=OB=3$米,点$C$的坐标为$(0,2)$,通过以上条件可设抛物线的表达式为$y=ax^2+2$,把$A$点坐标$(-3,0)$代入函数表达式,得$9a+2=0$,解得$a=-\frac{2}{9}$,$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{2}{9}x^2+2$,当$x=4$时,$y=-\frac{2}{9}×16+2=-\frac{14}{9}$,$\therefore$ 水面下降$\frac{14}{9}$米.

5. [2025陕西中考]某景区大门上半部分的截面示意图如图所示,顶部$L_1$,左、右门洞$L_2$,$L_3$均呈抛物线型,水平横梁$AC=16\ \mathrm{m}$,$L_1$的最高点$B$到$AC$的距离$BO=4\ \mathrm{m}$,$L_2$,$L_3$关于$BO$所在直线对称.$MN$,$MP$,$NQ$为框架,点$M$,$N$在$L_1$上,点$P$,$Q$分别在$L_2$,$L_3$上,$MN// AC$,$MP⊥ AC$,$NQ⊥ AC$.以$O$为原点,以$AC$所在直线为$x$轴,以$BO$所在直线为$y$轴,建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线$L_1$的函数表达式.
(2)已知抛物线$L_3$的函数表达式为$y = -\dfrac{3}{16}(x - 4)^2$,$NQ=\dfrac{5}{2}\ \mathrm{m}$,求$MN$的长.

5. 解:(1)$\because BO=4$ m,
$\therefore$ 抛物线$L_1$的顶点$B$的坐标为$(0,4)$,
由此可设抛物线$L_1$的函数表达式为$y=ax^2+4$.
由题可知$AC=16$ m,结合二次函数的对称性得$A(-8,0)$,$C(8,0)$,将$(8,0)$代入$y=ax^2+4$,
得$0=64a+4$,解得$a=-\frac{1}{16}$,
$\therefore$ 抛物线$L_1$的函数表达式为$y=-\frac{1}{16}x^2+4$.
(2)设$N(n,-\frac{1}{16}n^2+4)$,则由$NQ⊥ AC$,可知$Q(n,-\frac{3}{16}(n-4)^2)$.
$\because NQ=\frac{5}{2}$,$\therefore -\frac{1}{16}n^2+4-[-\frac{3}{16}(n-4)^2]=\frac{5}{2}$,
整理,得$n^2-12n+36=0$,即$(n-6)^2=0$,
$\therefore n_1=n_2=6$,
$\therefore MN=2×6=12(\mathrm{m})$.