1. [2026合肥段考]在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20 cm，则它的宽为（）

A.$5(\sqrt{5} - 1)\mathrm{cm}$
B.$10(\sqrt{5} - 1)\mathrm{cm}$
C.$5(\sqrt{5} + 1)\mathrm{cm}$
D.$10(\sqrt{5} + 1)\mathrm{cm}$

1.B 由题意可知,这本书的宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,所以宽为$20 ×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = 10(\sqrt{5} - 1)\mathrm{cm}$.

2. 某学习小组在研究生活中常用的 A4 纸的规格时,也了解到工业上对关于纸张规格的一些知识. A 系列纸张的基本规格为 A0 纸,面积约为1平方米,对半裁开得到 A1 纸,再对裁得到A2 纸……以此类推得到 A4 纸,裁剪后得到各规格纸张可看作相似的矩形,如图所示.

查阅资料知纸张的规格如下(比值保留两位小数):

(1)请计算 A3 纸,A4 纸的长宽比(保留两位小数),并填在表中.
(2)通过查阅资料,可知 A 系列纸的长宽比为一个固定的无理数. 请你猜想这个无理数为.
(3)设 A0 纸的长为 a mm,宽为 b mm,证明你的猜想.

2 解:(1)1.41 1.41 420÷297≈1.41,297÷210≈1.41.
(2)$\sqrt{2}$
(3)由题意可知,A0 纸与 A1 纸是相似矩形,A0 纸的长为a mm,宽为b mm,
∴A1 纸的长为b mm,宽为$\frac{a}{2}$mm,
∴$\frac{a}{b} = \frac{b}{\frac{a}{2}}$,
∴$a=\sqrt{2}b$ 或 $a = -\sqrt{2}b$(舍去),
∴$\frac{a}{b} =\sqrt{2}$,即 A0 纸的长与宽的比值是$\sqrt{2}$;
同理,可知 A1 纸与 A2 纸是相似矩形,A2 纸的长为$\frac{a}{2}$mm,宽为$\frac{b}{2}$mm,
∴$\frac{b}{\frac{a}{2}} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{b}{2}}$,
∴$a=\sqrt{2}b$ 或 $a = -\sqrt{2}b$(舍去),
∴$\frac{b}{\frac{a}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}b}{2}} =\sqrt{2}$,即 A1 纸的长与宽的比值是$\sqrt{2}$;
……
由此可知,A 系列纸的长宽比为$\sqrt{2}$.

3. 下面我们做一次折叠活动：
第一步:在一张宽为2的矩形纸片的一端,利用如图1的方法折叠出一个正方形,然后把纸片展开.
第二步:如图2,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步:折出内侧矩形的对角线AB,并将AB折到图3中所示的AD处.
第四步:展平纸片,按照所得的点D折出DE,矩形BCDE就是黄金矩形,你能说明为什么吗?(注:当矩形的宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时,称这个矩形为黄金矩形)

3 解:由题意,得正方形 BCNM 的边长为 2.
∵ 正方形 BCNM 沿 AF 对折,
∴ $AC = \frac{1}{2}NC = 1$.
在 Rt△ABC 中,$BC=2$,$AC=1$,
∴ $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} =\sqrt{5}$.
∵ AB 折叠得到 AD,
∴ $AD = AB =\sqrt{5}$,
∴ $CD = AD - AC =\sqrt{5} - 1$,
∴ $\frac{CD}{BC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$,
∴ 矩形 BCDE 就是黄金矩形.