第十八站 探秘四边形
穿越时空
亲爱的小伙伴,诸葛亮大家都非常熟悉.诸葛亮,字孔明,号卧龙,是三国时期蜀汉丞相,杰出的政治家、军事家、散文家、书法家、发明家,其散文代表作有《出师表》《诫子书》等.诸葛亮曾发明木牛流马等,并改造连弩,叫作诸葛连弩,可一弩十矢俱发.下面,和大家分享一则诸葛亮分地的故事.
且说卧龙岗真是一处风景秀丽、美景怡人的宝地,山不高而秀雅,水不深而澄清,地不广而平坦,林不大而茂盛,猿鹤相亲,松竹交翠,遥望山畔数人,荷锄耕于田间,一派安详宁静的气氛.
诸葛亮就住在这里.一天,他家隔壁的王老汉因病去世,临终前将自己的两个儿子叫到床前,对他们说:“我死以后,你们把咱家的田地分了吧,怎么分你们自己想办法,但是,我有两点要求:一是你们两个分的田地必须一样多,二是田地中间那口井是先祖留下来的,所以不能分,你们切记.”说完就闭上了眼.
两个儿子看到老父亲去世,抱头痛哭,在邻居们的帮助下安葬了父亲.回到家中后,想起老父亲临终前交代的事情却犯了难,这地可怎么分啊?
原来呀,王老汉家的地的形状是一个平行四边形(如图),那口井也不在中间,而是在靠近左下角的部位(图中点P的位置),二人正在犯难的时候,邻居李二给他们出主意说:“既然我们都分不了这块地,不如去找孔明先生吧,他肯定有办法.”于是,兄弟二人来到了孔明先生的家里,将事情的原委讲给孔明先生,并请孔明先生帮忙分地.只见先生沉吟片刻,便说道:“你们到地里画出这块地的对角线,然后将其交点与井口位置相连并延长,定能平分这块地,并且不分掉那口井.”
兄弟俩按孔明先生的做法,果然将这块地平均分成了两部分,众人看到后,纷纷赞叹孔明先生才智过人.
任务:你知道孔明先生这样分地的道理吗?你还有其他的分法吗?

解：
孔明分地的道理：
平行四边形的对角线互相平分，两条对角线的交点是平行四边形的对称中心，平行四边形是中心对称图形，过它的对称中心的任意一条直线，都可以将平行四边形分成面积相等的两部分。
设平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，连接OP并延长，交平行四边形的一组对边于点E、F。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，对应一组对边平行，可得∠OAE=∠OCF，
又∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE ≌ △COF，同理可证直线分割出的其余对应部分也全等，因此直线EF两侧的图形面积相等，都等于平行四边形总面积的一半。
同时点P在直线EF上，井位于分界线上，不会被拆分到任意一侧，满足不分割井的要求。
其他分法：
连接平行四边形两条对角线得到交点O，过点O和点P作直线，使该直线与平行四边形未被上述直线相交的另一组对边相交，这条直线同样可以将平行四边形分成面积相等的两部分，且点P在分界线上，同时满足两块地面积相等、井不被分割的要求，是符合条件的另一种分法。